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相关试卷

1、设 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，已知 $\sqrt{3} a \sin C = c (1 + \cos A)$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b = 2, c = 3$ ， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线且交 $B C$ 于点 $D$ ，求线段 $A D$ 的长.

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2、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (4, 3), B (6, 8)$ ，点 $M$ 满足 $\vec{O M} = λ \vec{O B}, λ \in R$ ．

(1)、若 $A M ⊥ O B$ ，求 $λ$ ；

(2)、若 $(\vec{O M} + \vec{O A}) ∥ \vec{A B}$ ，求 $M$ 的坐标．

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3、设复数 $z_{1} = 2 + 3 i$ ， $z_{2} = 1 - m i$ $(m \in R)$ .

(1)、若 $z_{1} - z_{2}$ 是实数，求 $\bar{z_{1} z_{2}}$ ；

(2)、在复平面内，复数 $\frac{z_{2}}{z_{1}}$ 所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.

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4、点O是△ABC所在平面内的一点，满足 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \vec{O B} \cdot \vec{O C} = \vec{O C} \cdot \vec{O A}$ ，则点O是 $Δ A B C$ 的心．

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5、已知i是虚数单位，则 $i + i^{3} + i^{5} + i^{7} =$

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6、已知圆O内接四边形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $B C = 3$ ， $A D = C D = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $C = \frac{π}{3}$ B、四边形 $A B C D$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ C、该外接圆的直径为 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ D、 $\vec{B O} \cdot \vec{C D} = - 1$

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7、下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 都是单位向量，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、在四边形 $A B C D$ 中，若 $\vec{A B} = \vec{D C}$ ，则四边形 $A B C D$ 是平行四边形 C、若 $|\vec{a}| > |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} > \vec{b}$ D、若 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 是平面内的一组基底，则 $\vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ 和 $\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ 也能作为一组基底

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8、若非零向量 $\overset{⃑}{A B}, \overset{⃑}{A C}$ 满足 $(\overset{⃑}{A B} + \overset{⃑}{A C}) \cdot \overset{⃑}{B C} = 0$ ，且 $\frac{\overset{⃑}{A B}}{| \overset{⃑}{A B} |} \cdot \frac{\overset{⃑}{A C}}{| \overset{⃑}{A C} |} = \frac{1}{2}$ ，则 $△ A B C$ 为（）

A、三边均不相等的三角形 B、直角三角形 C、底边与腰不相等的等腰三角形 D、等边三角形

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9、设 $a = \frac{1}{2} \cos 6^{°} - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 6^{°}$ ， $b = \frac{2 \tan 13^{°}}{1 - \tan^{2} 13^{°}}$ ， $c = \sqrt{\frac{1 - \cos 50^{°}}{2}}$ ，则有（）

A、 $a > b > c$ B、 $a < b < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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10、设 $0 \leq x \leq \frac{π}{4}$ ，则 $\sqrt{1 + \sin 2 x} + \sqrt{1 - \sin 2 x} =$ （）.

A、 $2 \sin x$ B、 $2 \cos x$ C、 $- 2 \sin x$ D、 $- 2 \cos x$

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11、 $\sin 45 ° \cos 15 ° + \cos 45 ° \cos 75 °$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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12、不等式 $\frac{x - 4}{x - 1} \geq 2$ 的解集是（）

A、 ${x ∣ - 2 \leq x \leq 1}$ B、 ${x ∣ x \leq - 2}$ C、 ${x ∣ - 2 \leq x < 1}$ D、 ${x ∣ x > 1}$

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13、若 $a > b > 0$ ， $c > d$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a - b < 0$ B、 $a c > b d$ C、 $a c^{2} > b c^{2}$ D、 $\frac{a}{c^{2} + 1} > \frac{b}{c^{2} + 1}$

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14、牛顿法（Newton’s method）是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设 $r$ 是 $f (x) = 0$ 的根，选取 $x_{0}$ 作为 $r$ 的初始近似值，过点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线 $L$ ， $L$ 的方程为 $y = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ ．如果 $f^{'} (x_{0}) \neq 0$ ，则 $L$ 与 $x$ 轴的交点的横坐标记为 $x_{1}$ ，称 $x_{1}$ 为 $r$ 的一阶近似值．再过点 $(x_{1}, f (x_{1}))$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线，并求出切线与 $x$ 轴的交点横坐标记为 $x_{2}$ ，称 $x_{2}$ 为 $r$ 的二阶近似值．重复以上过程，得 $r$ 的近似值序列： $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ ，根据已有精确度 $ε$ ，当 $|x_{n} - r| < ε$ 时，给出近似解．对于函数 $f (x) = x + e^{x}$ ，已知 $f (r) = 0$ ．

(1)、若给定 $x_{0} = 0$ ，求 $r$ 的二阶近似值 $x_{2}$ ；

(2)、函数 $h (x) = x (\ln x - 1) - \ln x + e^{x} - e^{- x}$ ．
①试写出函数 $h (x)$ 的最小值 $m$ 与 $r$ 的关系式；
②证明： $m > e - 2$ ．

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15、三个数 $a = \frac{2}{e^{2}}$ ， $b = \frac{\ln 2}{2}$ ， $c = \frac{\ln 3}{3}$ 的大小顺序为（　　）

A、 $b < c < a$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $a < b < c$

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16、 $C_{2025}^{0} - 2 C_{2025}^{1} + 2^{2} C_{2025}^{2} - 2^{3} C_{2025}^{3} + \dots + 2^{2024} C_{2025}^{2024} - 2^{2025} C_{2025}^{2025}$ 的值是（）

A、 $- 1$ B、1 C、0 D、22024

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17、从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人，则不同的安排方法有（）

A、 $18$ 种 B、 $24$ 种 C、 $36$ 种 D、 $48$ 种

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18、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $N$ 是 $B C$ 的中点，设 $\vec{A A_{1}} = \vec{a}$ ， $\vec{A B} = \vec{b}$ ， $\vec{A D} = \vec{c}$ ，则 $\vec{A_{1} N}$ 等于（）

A、 $- \vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ C、 $- \vec{a} - \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\vec{a} - \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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19、把满足任意 $x, y \in R$ 总有 $f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y)$ 的函数称为和弦型函数.

(1)、已知 $f (x)$ 为和弦型函数且 $f (1) = \frac{5}{4}$ ，求 $f (0), f (2)$ 的值；

(2)、在（1）的条件下，定义数列： $a_{n} = 2 f (n + 1) - f (n) (n \in N_{+})$ ，求 ${log}_{2} \frac{a_{1}}{3} + {log}_{2} \frac{a_{2}}{3} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot {log}_{2} \frac{a_{2024}}{3}$ 的值；

(3)、若 $g (x)$ 为和弦型函数且对任意非零实数 $t$ ，总有 $g (t) > 1$ ．设有理数 $x_{1}, x_{2}$ 满足 $|x_{2}| > |x_{1}|$ ，判断 $g (x_{2})$ 与 $g (x_{1})$ 的大小关系，并给出证明．

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20、等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{6} = 0$ ， $S_{12} = 6$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{|a_{n}|\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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