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相关试卷

1、若 $a > b > 0$ ，则下列不等式中成立的是（）

A、 $a + \frac{1}{a} > b + \frac{1}{b}$ B、 $a - \frac{1}{a} > b - \frac{1}{b}$ C、 $\frac{b}{a} > \frac{b + 1}{a + 1}$ D、 $\frac{2 a + b}{a + 2 b} > \frac{a}{b}$

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2、已知全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A \cap ∁_{U} B = {1, 3, 4, 6}$ ，则 $(∁_{U} A) \cup B =$ （）

A、 ${2, 5, 7}$ B、 ${1, 3, 4, 6}$ C、 ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ D、 $\emptyset$

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3、已知集合 $P = {x| x (x - 1) \geq 0}, Q = \{x| \frac{1}{x - 1} > 0\}$ ，则 $P \cap Q$ 等于（）

A、 $\emptyset$ B、 $\{x| x \geq 1\}$ C、 ${x| x > 1}$ D、 ${x| x \geq 1 或 x < 0}$

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4、若 $s i n (α + \frac{π}{6}) = \frac{1}{4}$ ，则 $s i n (2 α - \frac{π}{6}) =$ ．

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5、设函数 $f (x) = \frac{3^{x} - 3^{- x}}{2}, g (x) = \frac{3^{x} + 3^{- x}}{2}$ ，则（）

A、函数 $y = f (x) \cdot g (x)$ 为奇函数 B、 $f (2 x) = 2 f (x) \cdot g (x)$ C、函数 $y = \frac{f (x)}{g (x)}$ 的值域为 $(- 1, 1)$ D、函数 $y = \frac{g (x)}{f (x)}$ 在其定义域上为增函数

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6、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x} - b ln x$ ，其中 $b \in R$ ．

(1)、当 $b = 1$ 时，求 $f (x)$ 的图象在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上存在极值，求 $b$ 的取值范围．

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7、已知公差 $d > 0$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项的和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{1}, a_{3} - 1, S_{4}$ 成等比数列.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{n} b_{n} a_{n + 1} = 1$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项的和.

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x e^{x} - a, x < a, \\ 2 - x - 2 a, x \geq a \end{array}$ 有三个零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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9、若随机事件 $A$ 、 $B$ 满足： $P (A) = P (B)$ ， $P (A + B) = \frac{7}{8}$ ， $P (A B) = \frac{5}{8}$ ，则 $P (A |B) =$ .

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{3 n + k}{2^{n}}$ ，若数列 $\{a_{n}\}$ 是递减数列，则实数k不能取的值是（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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11、已知某品牌汽车某年销量记录如下表所示：
月份x
1
2
3
4
5
6
销量y（万辆）
11.7
12.4
13.8
13.2
14.6
15.3
针对上表数据，下列说法正确的有（）

A、销量的极差为3.6 B、销量的60%分位数是13.2 C、销量的平均数与中位数相等 D、若销量关于月份的回归方程为 $y = 0.7 x + b$ ，则 $b = 11.05$

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12、在 ${(x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中含 $x^{3}$ 项的系数为15，则展开式中二项式系数最大的是第（）项

A、2 B、3 C、4 D、5

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13、已知过抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点F且倾斜角为θ的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，若 $△ O A B$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ ，则θ的值为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{π}{4}$ 或 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$

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14、已知非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 8 |\vec{b}|$ ，向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影向量是 $4 \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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15、在直角坐标系中， $M (- 1, - 1), N (1, 3), P (3, - 3), Q (2, 5)$ ，则以下判断正确的是（）

A、 $△ M P Q$ 为直角三角形 B、 $M$ ， $N$ ， $P$ ， $Q$ 依次连起来是一个四边形 C、 $cos ∠ M P Q = \frac{2 \sqrt{13}}{13}$ D、 $S_{△ P Q N} = 5$

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16、欧几里得在《几何原本》中证明算术基本定理：任何一个大于1的自然数，可以分解成有限个素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么这个乘积形式唯一的.对于任意正整数 $n$ ，记 $f (n)$ 为 $n$ 的所有正因数的个数， $g (n)$ 为 $n$ 的所有正因数的和.

(1)、若数列 $a_{n} = f (3^{n}), b_{n} = g (3^{n})$ ，求数列 $c_{n} = \frac{3^{a_{n}}}{b_{n} b_{n + 1}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、对互不相等的质数 $p ､ q ､ r$ ，证明： $f (p^{3} q^{2} r) = f (p^{3}) f (q^{2}) f (r), g (p^{3} q^{2} r) = g (p^{3}) g (q^{2}) g (r)$ ，并求 $\frac{g (2200)}{f (2200)}$ 的值.

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17、已知 $f (x) = ln (\frac{x - a}{x + a}) + a x (a > 0)$ .

(1)、证明： $f (x)$ 是奇函数；

(2)、若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) (x_{1} < 0 < x_{2})$ ，证明 $f (x)$ 在 $(a, + \infty)$ 上有一个零点 $x_{0}$ ，且 $x_{0} \leq \frac{x_{2} - x_{1}}{2}$ .

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18、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面四边形 $A B C D$ 为凸四边形，且 $P D = A D = C D = 4$ ， $P A = P C = A C = 4 \sqrt{2}$ ， $A B = B C$ ．

(1)、证明： $A C ⊥ P B$ ；

(2)、已知平面 $A P C$ 与平面 $B P C$ 夹角的余弦值为 $\frac{7 \sqrt{57}}{57}$ ，求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积．

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19、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + e^{x - 1} + m x - 3$ ，若当 $x \in (1, 2)$ 时，函数 $f (x)$ 存在最小值，则实数 $m$ 的取值范围是．

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20、 $3^{20}$ 被10除的余数为.

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月份x	1	2	3	4	5	6
销量y（万辆）	11.7	12.4	13.8	13.2	14.6	15.3