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相关试卷

1、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ ，直线 $l$ 过 $C$ 的焦点 $F$ ，且与 $C$ 交于 $M, N$ 两点，则（）

A、 $C$ 的准线方程为 $x = - 2$ B、线段 $M N$ 的长度的最小值为4 C、存在唯一直线 $l$ ，使得 $F$ 为线段 $M N$ 的中点 D、以线段 $M N$ 为直径的圆与 $C$ 的准线相切

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2、下列说法正确的是（）

A、数据2，7，4，5，16，1，21，11的中位数为5 B、当 $P (A) > 0$ 时，当且仅当事件A与B相互独立时，有 $P (A B) = P (A) P (B)$ C、若随机变量X服从正态分布 $N (6, σ^{2})$ ，若 $P (X < 10) = 0.8$ ，则 $P (2 < X < 6) = 0.3$ D、已知一系列样本点 $(x_{i}, y_{i})$ （ $i = 1$ ， 2，3，…，n）的经验回归方程为 $\hat{y} = 3 x + \hat{a}$ ，若样本点 $(s, 3)$ 与 $(3, t)$ 的残差相等，则 $3 s + t = 9$

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3、设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且满足 $f (x) - f (3 - x) = 0$ ， $f (x) + f (- x) = 0$ ， $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in [0, \frac{3}{2}]$ ，都有 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] > 0$ ，若 $a = f (- 3)$ ， $b = f (\ln 8)$ ， $c = f (2024)$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < c < b$ C、 $a < b < c$ D、 $b < c < a$

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4、从装有3个白球、5个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，A表示事件“两次取出的球颜色相同”，B表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则 $P (B |A) =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{13}$ D、 $\frac{10}{13}$

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5、在 $(x - y) {(x + y)}^{6}$ 的展开式中， $x^{3} y^{4}$ 的系数是（）

A、 $- 5$ B、5 C、 $- 10$ D、10

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6、已知双曲线E： $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $b > 0$ ）的右焦点F到其一条渐近线的距离为1，则E的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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7、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则（）

A、 $A = 1$ B、 $ω = 1$ C、 $f (\frac{π}{6}) = 2$ D、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$

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8、已知M，N是圆O上的两点，若 $|M N| = 3$ ，则 $\vec{M O} \cdot \vec{M N} =$ （）

A、3 B、 $\frac{9}{2}$ C、9 D、 $\frac{3}{2}$

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9、已知 $i$ 是虚数单位，复数z满足 $(1 - i) z = 4$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 + 3 i$ B、 $2 + 2 i$ C、 $1 - 3 i$ D、 $2 - 2 i$

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10、设全集 $U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ ，集合 $A = \{2, 4\}$ ， $B = \{x |x^{2} - 5 x + 6 = 0\}$ ，则 $∁_{U} (A \cup B) =$ （）

A、 $\{0, 1, 5\}$ B、 $\{0, 4, 5\}$ C、 $\{2, 3, 5\}$ D、 $\{2, 3, 4\}$

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11、如图，在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A = 3 \sqrt{2}$ .

(1)、证明：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B D$ .

(2)、若以 $P$ 为球心，半径为 $\sqrt{17}$ 的球与直线 $B C$ 只有1个公共点，求二面角 $P - B C - A$ 的正切值.

(3)、已知当 $x = \sqrt{6}$ 时， $f (x) = x ^{3} - 18 x (x > 0)$ 取得最小值.请根据这条信息求正四棱锥 $P - A B C D$ 体积的最大值.

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12、在锐角 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，且 $c = 2$ .

(1)、若 $C = \frac{π}{3}$ ，求 $△ A B C$ 周长的最大值.

(2)、设 $a cos B = b cos A + \frac{\sqrt{6}}{3}$ ， $sin (A - B) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ .
（ⅰ）求 $△ A B C$ 外接圆的半径 $R$ ；
（ⅱ）求 $△ A B C$ 的面积.

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13、甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中，则此人继续投篮，若未命中，则换对方投篮.已知甲每次投篮的命中率均为0.7，乙每次投篮的命中率均为0.5，甲、乙每次投篮的结果相互独立.

(1)、若第1次投篮的人是甲，求第3次投篮的人是甲的概率；

(2)、若第1次投篮的人是乙，求前5次投篮中乙投篮次数不少于4的概率.

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14、如图，在各棱长均为2的正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ ， $E$ ， $G$ 分别为 $A_{1} B_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点， $\vec{A F} = 3 \vec{F A_{1}}$ .

(1)、求点 $B$ 到平面 $A C G$ 的距离；

(2)、证明：平面 $A C G / /$ 平面 $D E F$ .

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15、已知某校初二年级有1200名学生，在一次数学测试中，该年级所有学生的数学成绩全部在 $[45, 95]$ 内.现从该校初二年级的学生中随机抽取100名学生的数学成绩，按 $[45, 55)$ ， $[55, 65)$ ， $[65, 75)$ ， $[75, 85)$ ， $[85, 95]$ 分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、估计该校初二年级学生这次数学测试的平均分（各组数据以该组数据的中点值作代表）；

(3)、记这次测试数学成绩不低于85分为“优秀”，估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生人数.

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16、在底面为正方形的四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = 5$ ， $P D = 4$ ， $\vec{P E} = λ \vec{P D}$ ， $P B / /$ 平面 $E A C$ ，则 $λ =$ ，四面体 $A C D E$ 的外接球的表面积为.

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17、已知向量 $\vec{a} = (t, - 1)$ ， $\vec{b} = (t, 16 t)$ ， $t \neq 0$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角，则t的取值范围是（用区间表示）.

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18、若一组数据3，4，6， $m$ ， 8，3，7，9的第40百分位数为6，则正整数 $m$ 的最小值为.

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19、在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ，则（）

A、正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的侧面积为24 B、 $A_{1} B$ 与平面 $B D D_{1} B_{1}$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{22}}{11}$ C、异面直线 $A_{1} B$ 与 $B_{1} C$ 所成角的余弦值为 $\frac{8}{13}$ D、三棱锥 $A_{1} - A B D$ 内切球的半径为 $\frac{8 - \sqrt{22}}{7}$

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20、若 $z = i^{3} + i^{16}$ ，则（）

A、 $|z| = 2$ B、 $z^{6}$ 的虚部为8 C、 $\frac{1}{1 + z^{6}} = \frac{1 - 8 i}{65}$ D、 $1 - z^{6}$ 在复平面内对应的点位于第二象限

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