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相关试卷

1、已知平面内 $A, B, C$ 三点不共线，且点 $O$ 满足 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \vec{O B} \cdot \vec{O C} = \vec{O A} \cdot \vec{O C}$ ，则 $O$ 是 $△ A B C$ 的心.（填“重”或“垂”或“内”或“外”）

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2、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $△ A B C$ 的周长为 $3, B = 60 °$ ，则（）

A、若 $2 b = a + c$ ，则 $△ A B C$ 是等边三角形 B、存在非等边 $△ A B C$ 满足 $b^{2} = a c$ C、 $△ A B C$ 内部可以放入的最大圆的半径为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ D、可以完全覆盖 $△ A B C$ 的最小圆的半径为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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3、关于平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，下列说法不正确的是（）

A、 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = {\vec{a}}^{2} - {\vec{b}}^{2}$ B、 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$ C、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ ，且 $\vec{a} \neq \vec{0}$ ，则 $\vec{b} = \vec{c}$ D、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$

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4、已知复数 $z = \frac{2 - i}{i^{20} + i}$ （ $i$ 为虚数单位），复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则下列结论正确的是（）

A、在复平面内复数 $z$ 所对应的点位于第四象限 B、 $\bar{z} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ C、 $z \cdot \bar{z} = \frac{5}{2}$ D、 $\frac{z}{\bar{z}} = \frac{4}{5} + \frac{3}{5} i$

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5、古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知 $A B = B C = C D = 2, A B ⊥ B C, A C ⊥ C D$ ，若 $\vec{D B} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$

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6、用2，3，4这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”发生的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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7、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $b sin B = c sin (A + B) - a sin A$ ，则 $△ A B C$ 为（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、钝角三角形

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8、一组数据：5，1，3，5，2，2，2，3，1，2，则这组数据的 $85 %$ 分位数是（）

A、3 B、4 C、4.5 D、5

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9、若向量 $\vec{a} = (2, 3)$ ， $\vec{b} = (- 1, 1)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量的坐标是（）

A、 $(\frac{2}{13}, - \frac{3}{13})$ B、 $(\frac{2}{13}, \frac{3}{13})$ C、 $(- \frac{2}{13}, \frac{3}{13})$ D、 $(- \frac{2}{13}, - \frac{3}{13})$

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10、已知直线 $a$ 与平面 $α$ 没有公共点，直线 $b \subset α$ ，则 $a$ 与 $b$ 的位置关系是（）

A、平行 B、异面 C、相交 D、平行或异面

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11、若复数 $z = 3 - i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{10}$ B、10 C、 $2 \sqrt{5}$ D、20

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12、已知函数 $f (x) = \frac{(x - 1) \ln x}{x + 1}$ ， $g (x) = a e^{a (x + 1)} - a$ （ $a > 0$ ）.

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = g (x)$ 在点 $(1, g (1))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、若 $g (x) \geq f (x)$ 对任意 $x \in [1, + \infty)$ 恒成立，求整数a的最小值.

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13、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n}^{2} + 2 a_{n} - n = 2 S_{n}$ .

(1)、求 $a_{1}$ ， $a_{2}$ 的值及数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{3 a_{n} - S_{n}\}$ 的最大项；

(3)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \{\begin{array}{l} \frac{62}{a_{n} \cdot a_{n + 2}}, n 为奇数 \\ n \cdot 2^{\frac{a_{n}}{2} - 1}, n 为偶数 \end{array}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前30项和 $T_{30}$ （ $2^{16} = 65536$ ， $2^{17} = 131072$ ）.

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14、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P C ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $D A = D C = P C$ ， $A B = A C = B C = 2 \sqrt{3}$ ， $A B ⊥ A D$ ．

(1)、证明： $P A ⊥ B D$ ；

(2)、求平面 $P A D$ 与平面 $P A C$ 夹角的余弦值.

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15、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $P (\sqrt{2}, 1)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l$ 过点 $Q (0, - 1)$ ，且与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，当 $|A B|$ 最大时，求直线 $l$ 的方程.

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16、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $b \sin 2 A = a \sin B$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小：

(2)、若 $b + c = \sqrt{2} a$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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17、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |\log_{2} x|, 0 < x \leq 2 \\ x^{2} - 6 x + 9, x > 2 \end{array}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ 时， $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = f (x_{4})$ ，则 $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}$ 的取值范围为.

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18、3月19日，习总书记在湖南省常德市考察调研期间来到河街，了解历史文化街区修复利用等情况，这片历史文化街区汇聚了常德高腔、常德丝弦、桃源刺绣、安乡木雕、澧水船工号子等品类繁多的非遗项目.现为了更好的宣传河街文化，某部门召集了200名志愿者，根据报名情况得到如下表格：
项目
常德高腔
常德丝弦
桃源刺绣
安乡木雕
澧水船工号子
志愿者人数
30
60
50
40
20
若从这200名志愿者中按照比例分配的分层随机抽样方法抽取20人进行培训，再从这20人中随机选取3人聘为宣传大使，记X为这3人中来自澧水船工号子的人数，则X的数学期望为.

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19、已知平面向量 $\vec{a} = (- 1, k)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ .

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20、已知圆柱 $O_{1} O_{2}$ 的高为 $2 \sqrt{3}$ ，线段 $A B$ 与 $C D$ 分别为圆 $O_{1}$ 与圆 $O_{2}$ 的直径，则（）

A、若 $P$ 为圆 $O_{1}$ 上的动点， $A B ⊥ A C$ ，则直线 $O_{2} P$ 与 $A C$ 所成角为定值 B、若 $△ A B C$ 为等边三角形，则四面体 $A B C D$ 的体积为 $24 \sqrt{3}$ C、若 $A B ⊥ C D$ ，且 $A B = 2 \sqrt{6}$ ，则 $A C ⊥ B D$ D、若 $A B ⊥ C D$ ，且 $A C$ 与 $B D$ 所成的角为 $60^{°}$ ，则四面体 $A B C D$ 外接球的表面积为 $20π$ 或 $84π$

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项目	常德高腔	常德丝弦	桃源刺绣	安乡木雕	澧水船工号子
志愿者人数	30	60	50	40	20