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相关试卷

1、在非直角三角形 $A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $a = 2 c cos B - b cos C$ .

(1)、求证： $tan C = 2 tan B$ ；

(2)、若 $tan A = 3, a = 3$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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2、某学校高一新生体检，校医室为了解新生的身高情况，随机抽取了 100 名同学的身高数据 (单位： $cm$ )，制作成频率分布直方图如图所示.

(1)、求这 100 名同学的平均身高的估计值 (同一组数据用区间中点值作为代表)；

(2)、用分层抽样的方法从 $[165, 170), [170, 175), [175, 180)$ 中抽出一个容量为17 的样本，如果样本按比例分配，则各区间应抽取多少人?

(3)、估计这 100 名同学身高的上四分位数.

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3、已知 $△ A B C$ 是边长为2的正三角形，点 $D$ 在平面 $A B C$ 内且 $\vec{D A} \cdot \vec{D B} = 0$ ，则 $\vec{D A} \cdot \vec{D C}$ 的最大值为，最小值为.

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4、已知 $4 \cos (θ + \frac{π}{4}) = \cos 2 θ$ ，则 $\sin 2 θ =$ .

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5、已知 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 1, \vec{b} = (1, 2)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为.

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6、如图，在三棱锥 $P - D E F$ 中， $P E = P F = 1, P D = 2, D E = D F = \sqrt{5}, E F = \sqrt{2}$ ，点 $Q$ 是 $D F$ 上一动点，则（）

A、过 $P E 、 P F 、 D E 、 D F$ 各中点的截面的面积为 $\sqrt{2}$ B、直线 $P E$ 与平面 $D E F$ 所成角的正弦值为 $\frac{2}{3}$ C、 $△ P E Q$ 面积的最小值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、将三棱锥的四个面展开在同一平面得到的平面图形可以是直角三角形或正方形。

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7、关于复数 $z = \cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3}$ ( $i$ 为虚数单位)，下列说法正确的是（）

A、 $z \cdot \bar{z} = 1$ B、 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于第二象限 C、 $z^{3} = 1$ D、 $z^{2} - z + 1 = 0$

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8、已知正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}, A B = 2$ ，半球的球心 $O$ 在底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心，且半球与该棱台的各棱均相切，则半球的表面积为（）

A、 $9 π$ B、 $18 π$ C、 $27 π$ D、 $36 π$

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9、某学校兴趣学习小组从全年级抽查了部分男生和部分女生的期中考试数学成绩，并算得这部分同学的平均分以及男生和女生各自的平均分，且男女生的平均分不相等，由于记录员的疏忽把人数弄丢了，则据此可确定的是（）

A、这部分同学是高分人数多还是低分人数多 B、这部分同学是男生多还是女生多 C、这部分同学的总人数 D、全年级是男生多还是女生多

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10、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ (其中 $A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2}$ )的部分图象如图所示，点 $M, N$ 是函数图象与 $x$ 轴的交点，点 $P$ 是函数图象的最高点，且 $△ P M N$ 是边长为2的正三角形， $O N = 3 O M$ ，则 $f (\frac{1}{3}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2} + 2}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

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11、已知四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A C} = (- 2, 1), \vec{B D} = (2, 4)$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积为（）

A、3 B、5 C、6 D、10

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12、已知两条不同的直线 $m, n$ 和三个不同的平面 $α, β, γ$ ，下列判断正确的是（）

A、若 $m \subset α, n / / m$ ，则 $n / / α$ B、若 $m \subset α, n \subset β, m / / β, n / / α$ ，则 $α / / β$ C、若 $α ⊥ γ, β ⊥ γ, α \cap β = m$ ，则 $m ⊥ γ$ D、若 $α \cap β = n, m ⊥ n, m \subset β$ ，则 $α ⊥ β$

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13、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 不共线，若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) // (k \vec{a} - b)$ 则 $k =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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14、已知 $tan α = 2$ ，则 $tan 2 α =$ （）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $- \frac{4}{3}$

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15、 $\frac{5 i}{i - 2} =$ （）

A、 $- 1 - 2 i$ B、 $- 1 + 2 i$ C、 $1 - 2 i$ D、 $1 + 2 i$

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16、已知函数 $f (x) = x e^{2 x}$ ，记 $f_{1} (x) = f^{'} (x)$ ，且 $f_{n + 1} (x) = {f^{'}}_{n} (x)$ ， $n \in N^{*}$

(1)、求 $f_{1} (x)$ ， $f_{2} (x)$ ；

(2)、设 $f_{n} (x) = (a_{n} x + b_{n}) e^{2 x}$ ， $n \in N^{*}$ ，
（i）证明：数列 ${\frac{b_{n}}{2^{n}}}$ 是等差数列；
（ii）求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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17、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）过点 $(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 为椭圆的左右顶点， $B_{1}$ ， $B_{2}$ 为椭圆的下顶点和上顶点，P是椭圆C上不同于 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 的动点，直线 $P A_{1}$ ， $P A_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，满足 $k_{1} \cdot k_{2} = - \frac{3}{4}$

(1)、求椭圆C的方程：

(2)、若点P是椭圆上第一象限内的一点，直线OP交椭圆C于另一点Q，求四边形 $A_{1} P B_{1} Q$ 的面积的取值范围．

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18、在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 B C$ ，点P是线段 $A B$ 的中点，将 $△ B C P$ 沿 $C P$ 折起到 $△ M C P$ 位置（如图），使得平面 $M C P ⊥$ 平面 $A P C D$ ，点Q是线段 $M D$ 的中点.

(1)、证明： $A Q / /$ 平面 $M C P$ ；

(2)、求平面 $M C D$ 与平面 $M A D$ 所成角的余弦值.

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19、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ， O为坐标原点，离心率 $e = 2$ ，点 $M (\sqrt{5}, \sqrt{3})$ 在双曲线上．

(1)、求双曲线的方程；

(2)、如图，若直线 $l$ 与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q} = 0$ .求证： $\frac{1}{{|O P|}^{2}} + \frac{1}{{|O Q|}^{2}}$ 为定值；

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20、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，满足： $S_{n} = {(\frac{a_{n} + 1}{2})}^{2}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \frac{n + 1}{S_{n} S_{n + 2}}$ ，设数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证 $T_{n} < \frac{5}{16}$ ．

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