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相关试卷

1、“ $a^{4} > b^{4}$ ”是“ $|a| > b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2、已知 $a = {l o g}_{2024} 0.2 ， b = 2024^{0.2} ， c = {0.2}^{2024}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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3、不等式 $\frac{1}{x - 1} > 1$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, 1) \cup (2, + \infty)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(- \infty, 2)$ D、 $(- \infty, 0) \cup (1, + \infty)$

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4、命题： $\forall n \in N^{*}$ ， $n^{2} \geq 2^{n}$ 的否定是（）

A、 $\forall n \in N^{*}, n^{2} < 2^{n}$ B、 $\exists n_{0} \in N^{*}, n_{0}^{2} \geq 2^{n_{0}}$ C、 $\exists n_{0} \in N^{*}, n_{0}^{2} < 2^{n_{0}}$ D、 $\exists n_{0} \in N^{*}, n_{0}^{2} \leq 2^{n_{0}}$

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5、若集合 $A = {- 1, 0, 1, 2, 3}$ ， $B = {x ∣ - 3 < x < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ B、 $\{- 1, 0, 1\}$ C、 ${x | - 1 < x < 1}$ D、 $\{x | - 1 \leq x \leq 1\}$

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6、我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况.某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量 $x$ （单位：dm）与遥测雨量 $y$ （单位：dm）的关系，统计得到该地区10组雨量数据如下：
样本号 $i$
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
人工测雨量 $x_{i}$
5.38
7.99
6.37
6.71
7.53
5.53
4.18
4.04
6.02
4.23
遥测雨量 $y_{i}$
5.43
8.07
6.57
6.14
7.95
5.56
4.27
4.15
6.04
4.49
$|x_{i} - y_{i}|$
0.05
0.08
0.2
0.57
0.42
0.03
0.09
0.11
0.02
0.26
并计算得 $\sum_{i = 1}^{10} x_{i}^{2} = 353.6$ ， $\sum_{i = 1}^{10} y_{i}^{2} = 361.7$ ， $\sum_{i = 1}^{10} x_{i} y_{i} = 357.3$ ， ${\bar{x}}^{2} \approx 33.62$ ， ${\bar{y}}^{2} \approx 34.42$ ， $\bar{x y} \approx 34.02$ .

(1)、求该地区汛期遥测雨量y与人工测雨量x的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有线性相关关系；

(2)、规定：数组 $(x_{i}, y_{i})$ 满足 $|x_{i} - y_{i}| < 0.1$ 为“I类误差”；满足 $0.1 \leq |x_{i} - y_{i}| < 0.3$ 为“II类误差”；满足 $|x_{i} - y_{i}| \geq 0.3$ 为“III类误差”.为进一步研究，该地区水文研究人员从“I类误差”、“II类误差”中随机抽取3组数据与“III类误差”数据进行对比，记抽到“I类误差”的数据的组数为X，求X的概率分布与数学期望.
附：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ， $\sqrt{304.5} \approx 17.4$ .

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7、如图，四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形且垂直于侧面 $S A B$ ， $O$ 为 $A B$ 的中点， $S A = S B = A B = 2$ ， $A D = \sqrt{2}$ ．

(1)、证明： $B D ⊥$ 平面 $S O C$ ；

(2)、侧棱 $S D$ 上是否存在点E，使得平面 $A B E$ 与平面 $S C D$ 夹角的余弦值为 $\frac{1}{5}$ ，若存在，求 $\frac{S E}{S D}$ 的值；若不存在，说明理由．

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8、过点 $(- 1, 0)$ 作曲线 $y = x^{3} - x$ 的切线，则切线的方程为.

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9、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，记 $g (x) = f^{'} (x)$ .若 $f (2 x + 1) - 2 x$ 与 $g (x + 2)$ 均为偶函数，则（）

A、 $g (1) = 1$ B、函数 $\frac{f (x + 1)}{x}$ 的图象关于点 $(0, 1)$ 对称 C、函数 $g (x)$ 的周期为2 D、 $\sum_{k = 1}^{2024} [g (k) - 1] [g (k + 1) + 1] = 0$

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10、已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球、一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球、一个3号球；3号盒子内装有三个1号球、两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（）

A、在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为 $\frac{1}{2}$ B、第二次抽到3号球的概率为 $\frac{11}{48}$ C、如果第二次抽到的是1号球，则它来自2号盒子的概率最大 D、如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有150种

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11、设函数 $f (x) = \cos 2 ω x + \sqrt{3} \sin 2 ω x$ （ $ω > 0$ ）的最小正周期为 $π$ ，则（）

A、 $ω = 1$ B、函数 $y = f (x)$ 的图象可由函数 $y = 2 \sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个长度单位得到 C、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{5 π}{12}, 0)$ 中心对称 D、函数 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{4}, \frac{π}{8})$ 上单调递增

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12、为了提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素与学生对体育锻炼的喜好是否有影响，为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进行普查.得到下表：
性别
体育锻炼
合计
喜欢
不喜欢
男生
280
q
280+q
女生
p
120
120+p
合计
280+p
120+q
400+p+q
附：χ²＝ $\frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， n＝a＋b＋c＋d.
α
0.10
0.05
0.010
0.001
x_α
2.706
3.841
6.635
10.828
已知男生喜欢体育锻炼的人数占男生人数的 $\frac{7}{10}$ ，女生喜欢体育锻炼的人数占女生人数的 $\frac{3}{5}$ ，则下列说法正确的是（）

A、列联表中q的值为120，p的值为180 B、随机对一名学生进行调查，此学生有90%的可能喜欢体育锻炼 C、根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为学生的性别与其对体育锻炼的喜好有关系，此推断犯错误的概率不超过0.01 D、根据小概率值α＝0.001的独立性检验，认为学生的性别与其对体育锻炼的喜好无关

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13、为推进体育教学改革和发展，提升体育教学质量中丰富学校体育教学内容，某市根据各学校工作实际，在4所学校设立兼职教练岗位．现聘请甲、乙等6名教练去这4所中学指导体育教学，要求每名教练只能去一所中学，每所中学至少有一名教练，则甲、乙分在同一所中学的不同的安排方法种数为（）

A、96 B、120 C、144 D、240

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14、“ $a \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$ ”是“圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $C_{2}$ ： ${(x - a)}^{2} + {(y + a)}^{2} = 1$ 有公切线”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点 $A$ 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上 $B$ ， $C$ 两点与点 $A$ 在同一条直线上，且在点 $A$ 的同侧．若在 $B$ ， $C$ 处分别测得球体建筑物的最大仰角为 $60 °$ 和 $20 °$ ，且 $B C = 100 m$ ，则该球体建筑物的高度约为（）（ $\cos 10 ° \approx 0.985$ ）

A、49.25 m B、50.76 m C、56.74 m D、58.60 m

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16、设复数 $z = \frac{1}{1 - i}$ （其中 $i$ 为虚数单位）， $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，则 $z + \bar{z} =$ （）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $i$ D、 $\frac{1 + i}{2}$

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17、若集合 $A = {x| y = \sqrt{x - 2}}, B = {y| y = \sqrt{x - 2}}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(0, 2]$ B、 $[2, + \infty)$ C、 $[0, + \infty)$ D、 $\emptyset$

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18、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C, A B = A A_{1} = \sqrt{3}, B C = 1, P$ 是 $B C_{1}$ 上一动点， $\vec{B P} = λ \vec{B C_{1}} (0 < λ < 1), M$ 是 $C C_{1}$ 的中点， $Q$ 是 $A M$ 的中点.

(1)、当 $λ = \frac{1}{4}$ 时，证明： $P Q //$ 平面 $A B C$ ；

(2)、在答题卡的题 (2) 图中作出平面 $A B_{1} P$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 的交线 (保留作图痕迹，无需证明)；

(3)、是否存在 $λ$ ，使得平面 $A B_{1} P$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成二面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{14}}{4}$ ? 若存在求满足条件的 $λ$ 值，若不存在，则说明理由.

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19、如图，在扇形 $O M N$ 中，半径 $O M = 2$ ，圆心角 $∠ M O N = \frac{π}{3}$ ，矩形 $A B C D$ 内接于该扇形，其中点 $A, B$ 分别在半径 $O M$ 和 $O N$ 上，点 $C, D$ 在 $\overset{⌢}{M N}$ 上， $A B / / M N$ ，记矩形 $A B C D$ 的面积为S.

(1)、当点 $A, B$ 分别为半径 $O M$ 和 $O N$ 的中点时，求S的值；

(2)、设 $∠ D O M = θ (0 < θ < \frac{π}{6})$ ，当 $θ$ 为何值时，S取得最大值，并求此时S的最大值.

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20、如图，已知多面体 $P Q R A B C D$ 中，四边形 $A B C D 、 P A B Q 、 P A D R$ 均为正方形，点 $H$ 是 $△ C Q R$ 的垂心， $P A = 1$ .

(1)、证明： $H$ 是点 $A$ 在平面 $C Q R$ 上的射影；

(2)、求多面体 $P Q R A B C D$ 的体积.

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样本号 $i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
人工测雨量 $x_{i}$	5.38	7.99	6.37	6.71	7.53	5.53	4.18	4.04	6.02	4.23
遥测雨量 $y_{i}$	5.43	8.07	6.57	6.14	7.95	5.56	4.27	4.15	6.04	4.49
$\|x_{i} - y_{i}\|$	0.05	0.08	0.2	0.57	0.42	0.03	0.09	0.11	0.02	0.26

性别	体育锻炼		合计
性别	喜欢	不喜欢	合计
男生	280	q	280+q
女生	p	120	120+p
合计	280+p	120+q	400+p+q

α	0.10	0.05	0.010	0.001
x_α	2.706	3.841	6.635	10.828