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相关试卷

1、函数 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ 在 $x = 2$ 处的切线斜率为（）

A、 $- 3$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $5$

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2、设 $a \in R$ ， $f (x) = a cos x + a^{2} sin 2 x$ ，函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ .

(1)、若 $a = 1$ ，判断函数 $y = f (\frac{π}{2} - x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、求证：函数 $y = f (x)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的最小值为 $- 2 a^{2} - |a|$ ；

(3)、若对任意的 $x \in R, f (x) \leq \frac{3 \sqrt{3}}{8}$ 恒成立，求实数 $a$ 的最大值.

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足以下条件：① $\{a_{n}\}$ 是严格增数列；② $\{a_{n}\}$ 的各项均为自然数；③ $a_{1} = 0, a_{2} = 1$ .设集合 $A = \{x ∣ x = a_{i} + a_{j}, i \neq j\}$ .

(1)、若数列 $\{a_{n}\}$ 共有4项，且 $a_{3} = 2, a_{4} = 4$ ，用列举法表示集合 $A$ ；

(2)、设数列 $\{a_{n}\}$ 为无穷数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若对一切正整数 $n$ 都有 $S_{n} < a_{n + 1}$ 成立，求证：对任意不小于3的正整数 $n$ ，不等式 $S_{n} > 2^{n - 2}$ 都成立；

(3)、设数列 $\{a_{n}\}$ 为有穷数列，若 $[1, 27] \cap Z \subseteq A$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 项数的最小值.

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4、某新能源汽车公司计划建设一个锂电池工厂，工厂必须建在河边，锂电池需要锂和钴两种矿产资源.如图， $A$ 是锂矿， $B$ 是钴矿，直线 $l$ 是一条河流. $A ､ B$ 两点在直线 $l$ 上的投影分别为 $C ､ D$ 两点.已知 $A C = 3$ ， $B D = 4, \tan ∠ B A C = - 7$ .假设工厂建在线段 $C D$ 上（包含端点）的点 $E$ 处，设 $C E = x$ .

(1)、求 $A B$ 的长.

(2)、若沿线段 $A E$ 与 $B E$ 建两条公路用于矿产运输，且要求 $∠ A E B$ 是钝角，求 $x$ 的取值范围.

(3)、若要建设公路连接 $A ､ B ､ E$ 三点，假设公路建设成本和公路长度成正比，请你运用数学建模的思想设计一个最佳的工厂选址和公路建设方案.（已知 $∠ A E B$ 的最大值约为 ${90.58}^{\circ}$ .）

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5、设 $i$ 是虚数单位， $m ､ k \in R . α ､ β$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (2 + m i) x + k = 0$ 的两根，且满足 $|α| + |β| = 3$ .

(1)、若 $α = 2 + \sqrt{5} i$ ，求 $m$ 与 $k$ 的值；

(2)、若 $m = 0$ ，求 $k$ 的值.

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6、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{9} = - 1, S_{9} = 27$ .

(1)、求 $d$ 的值；

(2)、当 $n$ 为何值时 $S_{n}$ 最大，并求出此最大值.

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7、设实数 $k > 0$ ，对于函数 $y = k sin x, x \in [0, π]$ 的图象上的点 $P (a, b)$ ，记 $|O P| = f (a)$ ，则下列说法中正确的是（）

A、不存在 $k$ ，使得 $y = f (a)$ 在区间 $[0, π]$ 上不是单调函数 B、存在 $k \in (0, 1)$ ，使得 $y = f (a)$ 在区间 $[0, π]$ 上不是单调函数 C、存在 $k \in [1, \sqrt{π})$ ，使得 $y = f (a)$ 在区间 $[0, π]$ 上不是单调函数 D、以上说法都不正确

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8、设 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x - 1$ .函数 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极大值3，则以下说法中正确的数量为（）个.
① $3 a + 2 b = 0$ ；
②对任意的 $m < 1$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(m, f (m))$ 处的切线一定与曲线 $y = f (x)$ 有两个公共点；
③若关于 $x$ 的方程 $f (x) = k$ 有三个不同的根 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，且这三个根构成等差数列，则 $k = 1$ .

A、0 B、1 C、2 D、3

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9、 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.则“ $A > B$ ”是“ $a +sin A > b +sin B$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、设 $i$ 是虚数单位，若复数 $z$ 为纯虚数，则复数 $z^{2} + i$ 在复平面上所对应的点 $Z$ 在（）.

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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11、已知 $a > 0$ ，如果有且仅有四个不同的复数 $z$ ，同时满足 $|(z - 1) {(z + 1)}^{2}| = a$ 和 $|z| = 1$ ，则 $a$ 的取值范围是.

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12、设等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，若存在实数 $c$ ，使得 $\sqrt{S_{n}} = a_{n} + c$ 对于任意的正整数 $n$ 都成立，则数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} =$ .

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13、设 $\vec{a} ､ \vec{b}$ 是单位向量，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$ ，向量 $\vec{c}$ 满足 $(\vec{c} - \vec{a}) \cdot (\vec{c} - 2 \vec{b}) = \frac{1}{4}$ ，则 $|\vec{c}|$ 的取值范围是.

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14、已知直线 $l$ ： $y = k x$ 是曲线 $f (x) = 2 x^{3} - x^{2}$ 的切线，则 $k =$ ．

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15、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2^{n + 1}$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} =$ .

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16、设 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{4}) + 3$ ，则函数 $y = f (x)$ 的极值点为.

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17、设 $θ \in R$ ，向量 $\vec{a} = (3 sin θ, 2), \vec{b} = (1, cos θ)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的取值范围是.

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18、设数列 $\{a_{n}\}$ 为无穷等比数列， $a_{1} = 2$ ，且 $\sum_{n = 1}^{+ \infty} a_{n} = 9$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的公比 $q =$ .

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19、设 $f (x) = x + cos x$ ，函数 $y = f (x)$ 的导函数为 $y = f^{'} (x)$ ，则 $f^{'} (\frac{π}{2}) =$ .

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20、设向量 $\vec{a} = (- 3, 2), \vec{b} = (1, 0)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的数量投影为.

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