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相关试卷

1、已知四棱锥 $P - A B C D, E 、 F$ 分别为 $A C, P B$ 的中点， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, B C ⊥ P C$ .

(1)、若 $D E ⊥ A C$ ，证明： $D E / /$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $A C = B C = 2$ ，二面角 $A - F C - B$ 的大小为 $120^{\circ}$ ，求 $P A$ .

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2、已知函数 $f (x) = t x^{2} + x - 3 t + 1, (t \in R)$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $(- \infty, 2)$ 上单调递增，求 $t$ 的取值范围；

(2)、若 $t > 0$ ，设函数 $f (x)$ 在区间 $[- 2, - 1]$ 上的最大值为 $g (t)$ ，求 $g (t)$ 的表达式，并求出 $g (t)$ 的最小值.

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3、已知函数 $f (x) = ln x - 2 x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若不等式 $f (x) \leq (a - 2) x + 2$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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4、设数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{2} = \sqrt{e}, a_{n}^{2} \sqrt{a_{n - 2}} = a_{n - 1}^{2} (n \geq 3, n \in N^{*})$ ，则 $ln a_{2025} - \frac{1}{2} ln a_{2024}$ 的值为.

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5、已知 $3^{a} = 1 + 3^{b} (a \geq 1)$ ，则 $a - b$ 的最大值为.

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6、已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，体积为 $7 π$ ，则该圆台的母线长为.

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7、曲线 $C$ 的方程为： ${(x^{2} + y^{2})}^{3} = 4 x^{2} y^{2}$ ，该曲线是由四条封闭曲线组成，点 $P$ 为曲线上的一点，下列说法正确的是（）

A、直线 $y = x$ 及直线 $y = - x$ 都是曲线 $C$ 的对称轴 B、点 $A (1, 1)$ 在封闭曲线内部 C、点 $P$ 到原点的距离的最大值为1 D、点 $P$ 的纵坐标的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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8、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $y = f (x - 1)$ 的图像关于直线 $x = 1$ 对称，且对任意的 $x \in R$ 都有 $f (- x) + f (x + 2) = 2, f (0) = - 1$ ，则下列正确的是（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $f (- 1) = - 1$ C、2是 $f (x)$ 的一个周期 D、 $\sum_{k = 1}^{2025} f (k) = 2025$

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9、已知 $a, b, c \in R$ ，且 $a > b, a b c \neq 0$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{c}{a} < \frac{c}{b}$ B、 $a c^{2} > b c^{2}$ C、 $c - a < c - b$ D、 $2^{a} > 2^{b}$

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10、函数 $f (x) = \frac{x}{ln x}$ ，若关于 $x$ 的不等式 ${[f (x)]}^{2} + t f (x) < 0 (t \in R)$ 有且仅有四个整数解，则 $t$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{5}{ln 5}, - \frac{2}{ln 2})$ B、 $(\frac{2}{ln 2}, \frac{6}{ln 6}]$ C、 $(\frac{5}{ln 5}, \frac{6}{ln 6}]$ D、 $[- \frac{6}{ln 6}, - \frac{5}{ln 5})$

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11、已知 $x, y$ 为正实数，且 $x + y = 1$ ，则 $\frac{x + 2 y + 1}{x y}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2} + 1$ B、 $2 \sqrt{2} - 1$ C、 $2 \sqrt{6} + 5$ D、 $2 \sqrt{6} - 5$

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12、若 $f (x + y) = f (x) + f (y) + x y$ 对任意 $x, y \in R$ 恒成立， $f (1) = 1$ ，则 $f (30) =$ （）

A、189 B、190 C、464 D、465

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13、已知直线 $l : (m - 1) x + 2 y + 3 - m = 0$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} - 6 x + 6 y = 0$ 交于 $A, B$ 两点，则线段 $A B$ 的长度的取值范围是（）

A、 $[\sqrt{10}, 3 \sqrt{2}]$ B、 $[2 \sqrt{10}, 6 \sqrt{2}]$ C、 $[2 \sqrt{10}, 4 \sqrt{2}]$ D、 $[\sqrt{10}, 6 \sqrt{2}]$

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14、已知 $f (x) = \{\begin{array}{l} - 2 x^{2}, x > 0, \\ ln (1 - x), x \leq 0, \end{array}$ 则不等式 $f (x + 3) < f (x^{2} + 3 x)$ 的解集是（）

A、 $(- 3, 1)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(- \infty, - 3) \cup (1, + \infty)$ D、 $(1, + \infty)$

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15、在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1, a_{4} = 8$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 的前10项的积为（）

A、 $2^{40}$ B、 $2^{45}$ C、 $2^{50}$ D、 $2^{55}$

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16、已知命题 $p : \forall x \in R, |x - 1| < 1$ ，命题 $q : \exists x \in R, x^{2} - x + 1 < 0$ ，则（）

A、命题 $p$ 和命题 $q$ 都是真命题 B、命题 $p$ 的否定和命题 $q$ 都是真命题 C、命题 $q$ 的否定和命题 $p$ 都是真命题 D、命题 $p$ 的否定和命题 $q$ 的否定都是真命题

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17、已知集合 $M = \{x |x > - \frac{3}{2}\}, N = \{x \in Z |- \frac{5}{2} < x < 1\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{x |- \frac{3}{2} < x < 1\}$ B、 $\{- 2, - 1, 0\}$ C、 $\{- 1, 0\}$ D、 $\{0, 1\}$

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18、若有穷数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} = 0$ 且 $\sum_{i = 1}^{n} |a_{i}| = 1$ ，则称其为“ $n$ 阶 $0 - 1$ 数列”.

(1)、若“6阶 $0 - 1$ 数列”为等比数列，写出该数列的各项；

(2)、若某“ $2 k + 1$ 阶 $0 - 1$ 数列”为等差数列，求该数列的通项 $a_{n}$ （ $1 \leq n \leq 2 k + 1$ ，用 $n, k$ 表示）；

(3)、记“ $n$ 阶 $0 - 1$ 数列” $\{a_{n}\}$ 的前 $k$ 项和为 $S_{k} (k = 1, 2, 3, \dots, n)$ ，若存在 $m \in \{1, 2, 3, \dots, n\}$ ，使 $S_{m} = \frac{1}{2}$ ，试问：数列 $\{S_{i}\} (i = 1, 2, 3, \dots, n)$ 能否为“ $n$ 阶 $0 - 1$ 数列”？若能，求出所有这样的数列 $\{a_{n}\}$ ；若不能，请说明理由.

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19、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，连接四个顶点所得菱形的面积为4.斜率为 $k$ 的直线交椭圆于 $A, B$ 两点.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若 $k = 1$ ，求 $|A B|$ 的最大值；

(3)、设 $O$ 为坐标原点，若 $A, B, O$ 三点不共线，且 $O A, O B$ 的斜率满足 $k_{O A} \cdot k_{O B} = k^{2}$ ，求证： $| O A |^{2} + | O B |^{2}$ 为定值.

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20、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = B C = 2 \sqrt{3}, P C = A B = 6, P B = \sqrt{30}, ∠ A B C = 90^{\circ}, D$ 为 $A C$ 上的动点.

(1)、若 $A D = \sqrt{3}$ ，求证： $P D ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若平面 $P A D$ 与平面 $P B D$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ ，求 $C D$ 的长.

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