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相关试卷

1、某高校在2014年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组 $[75$ ， $80)$ ，第2组 $[80$ ， $85)$ ，第3组 $[85$ ， $90)$ ，第4组 $[90$ ， $95)$ ，第5组 $[95$ ， $100]$ 得到的频率分布直方图如图所示．
（1）分别求第3，4，5组的频率；
（2）若该校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，
（ⅰ）已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试的概率；
（ⅱ）学校决定在这已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受考官 $L$ 的面试，设第4组中有 $ξ$ 名学生被考官 $L$ 面试，求 $ξ$ 的分布列和数学期望．

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2、已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} - 3 x$ 在 $x = - 1$ 和 $x = 3$ 处取得极值.

(1)、求 $a, b$ 的值：

(2)、求 $y = f (x)$ 在区间 $[- 4, 4]$ 上的最大值.

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3、如图，在棱长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 是 $B C$ 的中点.

(1)、求证： $A B_{1} ⊥ A_{1} M$ ；

(2)、求二面角 $B - A_{1} M - C_{1}$ 的大小.

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4、在A，B，C三地爆发了流感，这三个地区分别为6%，5%，4%的人患了流感.设这三个地区人口数的比为3∶1∶1，现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率是.

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5、函数 $f (x) = ln (2 x + 1)$ 的导函数为．

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6、 $\vec{ν}$ 为直线 $l$ 的方向向量， $\vec{n_{1}}$ 和 $\vec{n_{2}}$ 分别为平面 $α$ 与 $β$ 的法向量（ $α$ 与 $β$ 不重合， $l ⊄ α$ ），下列说法：① $\vec{n_{1}} ∥ \vec{n_{2}} \Leftrightarrow α ∥ β$ ；② $\vec{n_{1}} ⊥ \vec{n_{2}} \Leftrightarrow α ⊥ β$ ；③ $\vec{ν} ∥ \vec{n_{1}} \Leftrightarrow l ∥ α$ ；④ $\vec{ν} ⊥ \vec{n_{1}} \Leftrightarrow l ∥ α$ ．其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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7、统计某位篮球运动员的罚球命中率，罚中一次的概率是 $\frac{4}{5}$ ，连续罚中两次的概率是 $\frac{3}{5}$ .已知这位篮球运动员第一次罚球命中，则第二次罚球也命中的概率是（）

A、 $\frac{12}{25}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{7}{5}$

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8、对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是（）

A、 $r_{1} > r_{2} > r_{3}$ B、 $r_{2} > r_{3} > r_{1}$ C、 $r_{1} > r_{3} > r_{2}$ D、 $r_{3} > r_{2} > r_{1}$

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9、已知某市高三共有20000名学生参加二模考试，统计发现他们的数学分数 $X$ 近似服从正态分布 $N (105, 100)$ ，据此估计，该市二模考试数学分数 $X$ 介于75到115之间的人数为（）
参考数据：若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) \approx 0.6827, P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) \approx 0.9545, P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) \approx 0.9973$ .

A、13272 B、16372 C、16800 D、19518

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10、已知 $\vec{a} = (2, 0, 3)$ ， $\vec{b} = (- 2, 2, x)$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- \frac{5}{3}$ B、 $- 3$ C、 $\frac{5}{3}$ D、3

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11、如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为1的正方形， $S A = S B = 2$ ， $E$ 、 $F$ 分别是 $S C$ 、 $B D$ 的中点.

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $S A B$ ；

(2)、若二面角 $S - A B - D$ 的大小为 $\frac{π}{2}$ ，
（ⅰ）求 $S A$ 与 $B D$ 所成角的余弦值；
（ⅱ）求直线 $S D$ 与平面 $A B C D$ 所成角的大小.

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12、已知 $\sin α = \frac{3}{5}$ ， $α \in (\frac{π}{2}, π)$

(1)、求 $\cos α$ ， $\tan α$ 的值；

(2)、求 $\sin 2 α$ ， $\cos 2 α$ 的值

(3)、求 $\cos (α - \frac{π}{3})$ 的值.

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13、已知平面向量 $\vec{a} = (1, - 2)$ ， $\vec{b} = (- 1, - 1)$ .

(1)、求 $|2 \vec{a} - \vec{b}|$ 的值；

(2)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值.

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14、设 $b$ 和 $c$ 分别是先后投掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 有实根的概率是.

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15、已知复数 $z = a + b i$ ，其中 $a \in \{- 2, 0, 1\}$ ， $b \in \{0, 1, 4, 9\}$ ，则复数 $z = a + b i$ 是纯虚数的概率为.

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16、设 $A, B, C$ 为随机事件，且 $P (A) > 0, P (B) > 0, P (C) > 0$ ，下列说法正确的是（）

A、事件 $A, B$ 相互独立与 $A, B$ 互斥不可能同时成立 B、若三个事件 $A, B, C$ 两两独立，则 $P (A B C) = P (A) P (B) P (C)$ C、若事件 $A, B$ 独立，则 $P (\bar{A} B) = P (\bar{A}) P (B)$ D、若 $P (\bar{A}) = \frac{1}{3}, P (B) = \frac{1}{4}, P (A \cap B) = \frac{1}{6}$ ，则 $P (A \cup B) = \frac{3}{4}$

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17、某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该活动，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为（）

A、 $\frac{5}{36}$ B、 $\frac{5}{18}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{1}{2}$

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18、2022年12月20日，联合国世界旅游组织公布2022年“最佳旅游乡村”名单，中国广西大寨村和重庆荆竹村成功入选．辽宁绿江村也以景色别致的油菜花海吸引了众多游客．小明准备利用假期从中选一个乡村游玩，记事件 $A$ ：小明选大寨村，事件 $B$ ：小明选荆竹村，事件 $C$ ：小明选绿江村．已知 $P (A) = 0.3$ ， $P (\bar{B}) = 0.6$ ，则 $P (A + B)$ ＝（）

A、0.12 B、0.18 C、0.7 D、0.9

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19、已知 $m$ ， $n$ 是两条不同直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个不同平面，下列命题中正确的为（）

A、若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α$ ‖ $β$ B、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m$ ‖ $n$ C、若 $m$ ‖ $α$ ， $n$ ‖ $α$ ，则 $m$ ‖ $n$ D、若 $m$ ‖ $α$ ， $m$ ‖ $β$ ，则 $α$ ‖ $β$

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20、有下列命题：
①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；
②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；
③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；
④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台．
⑤有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．
其中正确的命题的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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