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相关试卷

1、如图1，在菱形 $A B C D$ 中， $△ A B D$ 是边长为2的等边三角形，将 $△ A B D$ 沿对角线 $B D$ 翻折至 $△ P B D$ 的位置，得到图2所示的三棱锥 $P - B C D$ .

(1)、证明： $B D ⊥ P C$ ；

(2)、若二面角 $P - B D - C$ 的平面角为 $60 ^{\circ}$ ，求直线 $P B$ 与平面 $B C D$ 所成角的正弦值.

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2、已知 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $b \cos C + c \cos B = 2 a \cos A$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ， $\sin C = 2 \sin B$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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3、某学校组织“泉城知识答题竞赛”，满分100分，共有100人参赛，其成绩均落在区间 $[50, 100]$ 内，将成绩数据分成 $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 5组，制成如图所示的频率分布直方图.

(1)、求 $a$ 的值并估计参赛学生成绩的 $70 %$ 分位数；

(2)、从成绩低于70分的学生中，用按比例分配的分层抽样抽取6人.从这6人中任选2人，求此2人分数都在 $[60, 70)$ 的概率.

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4、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的菱形， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ， $A A_{1} = 3$ ，且平面 $A D D_{1} A_{1}$ ， $A B B_{1} A_{1}$ 均与底面 $A B C D$ 垂直.点 $P$ 在侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 上运动，若 $D_{1} P = \sqrt{7}$ ，则点 $P$ 的轨迹长为.

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5、已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边，且 $a = 2$ ， $A = \frac{π}{6}$ ，则使得 $△ A B C$ 有两组解的 $b$ 的值可以是（写出满足条件的一个值即可）.

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6、甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7，现两人各自独立射击一次，则至少一人中靶的概率为．

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7、如图所示，三棱锥 $A - B C D$ 中， $A C = 2$ ，其余棱长均为 $\sqrt{2}$ . $E$ 为棱 $A C$ 的中点，将三棱锥 $C - B E D$ 绕 $D B$ 旋转，使得点 $C$ ， $E$ 分别到达点 $C^{'}$ ， $E^{'}$ ，且 $C^{'} E^{'} / / A E$ .下列结论正确的是（）

A、 $A C^{'} / /$ 平面 $B E D$ B、 $E E^{'} ⊥ C^{'} D$ C、直线 $C^{'} B$ 与 $E E^{'}$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ D、点， $E$ ， $B$ ， $D$ ， $C^{'}$ ， $E^{'}$ 在同一个直径为 $\sqrt{3}$ 的球面上

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8、已知有限集 $Ω$ 为随机试验 $E$ 的样本空间，事件 $A, B$ 为 $Ω$ 的子集，则事件 $A, B$ 相互独立的充分条件可以是（）

A、 $A \subseteq B$ B、 $A = \emptyset$ C、 $P (\bar{A} \bar{B}) = P (\bar{A}) P (\bar{B})$ D、 $P (\bar{A} B) + P (A) P (B) = P (B)$

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9、已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z_{1} = 2 i$ ， $z_{2} = 1 + i$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\bar{z_{1} + z_{2}}$ 所对应的点在第一象限 B、 $z_{1} z_{2}$ 所对应的点在第二象限 C、 $z_{1}^{4} = |z_{1}| ^{4}$ D、 $z_{2}^{4} = |z_{2}| ^{4}$

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10、如图，设 $O x$ ， $O y$ 是平面内夹角为 $θ (θ \neq \frac{π}{2})$ 的两条数轴， $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 分别是与 $x$ 轴、 $y$ 轴正方向同向的单位向量.若向量 $\vec{O A} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则有序数对 $(x, y)$ 叫做点 $A$ 在坐标系 $O x y$ 中的坐标.在该坐标系下， $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ， $C (x_{3}, y_{3})$ 为不共线的三点，下列结论错误的是（）

A、线段 $A B$ 中点的坐标为 $(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} ， \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$ B、 $△ A B C$ 重心的坐标为 $(\frac{x_{1} + x_{2} + x_{3}}{3} ， \frac{y_{1} + y_{2} + y_{3}}{3})$ C、 $A$ ， $B$ 两点的距离为 $\sqrt{(x_{1} - x_{2}) ^{2} + (y_{1} - y_{2}) ^{2}}$ D、若 $x_{1} y_{2} = x_{2} y_{1}$ ，则 $O$ ， $A$ ， $B$ 三点共线

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11、某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗骰子，调查中使用两个问题：①第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰子点数和为奇数的学生如实回答第一个问题，两颗骰子点数和为偶数的学生如实回答第二个问题.回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做.若最终盒子中小石子的个数为57，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（）

A、0.035 B、0.07 C、0.105 D、0.14

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12、已知两条不同的直线 $m$ ， $n$ 和两个不同的平面 $α$ ， $β$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $m // α$ ， $n \subset α$ ，则 $m // n$ B、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ n$ ，则 $n // α$ C、若 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $m // β$ ， $n // β$ ，则 $α // β$ D、若 $α / / β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m$ 与 $n$ 平行或异面

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13、若正三棱台上底面边长为 $\sqrt{2}$ ，下底面边长为 $2 \sqrt{2}$ ，高为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，则该棱台的体积为（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、2 C、 $\frac{7}{3}$ D、 $\frac{8}{3}$

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14、在 $△ A B C$ 中，记 $\vec{A B} = \vec{m}$ ， $\vec{A C} = \vec{n}$ ，若 $\vec{B C} = 3 \vec{D C}$ ，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{m} + \frac{2}{3} \vec{n}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{m} + \frac{1}{3} \vec{n}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{m} - \frac{2}{3} \vec{n}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{m} - \frac{1}{3} \vec{n}$

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15、从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取两个球，下列各组事件中，是互斥事件的是（）

A、“至少一个白球”与“至少一个黄球” B、“恰有一个白球”与“恰有两个白球” C、“至多一个白球”与“至多一个黄球” D、“至少一个黄球”与“都是黄球”

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16、已知 $i$ 为虚数单位，则复数 $z = \frac{1}{1 - i}$ 的虚部是（）

A、 $- \frac{i}{2}$ B、 $\frac{i}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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17、已知函数 $f (x) = e^{x} - 2 x - \cos x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在原点处的切线方程；

(2)、讨论 $f (x)$ 在 $R$ 上的零点个数.

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18、某商场举行有奖促销活动，凡5月1日当天消费不低于1000元，均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球，其中红球有4个，白球有2个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．
方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，每有1个红球，可立减80元；
方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸出1个球，连摸3次，每摸到1次红球，立减80元．

(1)、设方案一摸出的红球个数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差；

(2)、设方案二摸出的红球个数为随机变量Y，求Y的分布列、数学期望和方差；

(3)、如果你是顾客，如何在上述两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由．

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19、某民营学校为增强实力与影响力，大力招揽名师、建设校园硬件设施，近5年该校招生人数的数据如下表：
年份序号x
1
2
3
4
5
招生人数y/百人
7
12
13
19
24

(1)、求该学校招生人数 $y$ 与年份序号 $x$ 的相关系数（精确到 $0.01$ ），并判断它们是否具有较强线性相关程度（ $0.75 \leq |r| \leq 1$ ，则认为 $y$ 与 $x$ 的线性相关程度较强； $|r| < 0.75$ ，则认为 $y$ 与 $x$ 的线性相关程度较弱）；

(2)、求y关于x的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数．
参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - b \bar{x}$ ．
参考数据： $\sqrt{1740} \approx 41.7$ ．

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20、已知函数 $f (x) = x - \frac{2}{x} - 3 \ln x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $x \in [1, 6]$ ， $f (x) \leq m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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年份序号x	1	2	3	4	5
招生人数y/百人	7	12	13	19	24