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相关试卷

1、函数 $f (x)$ 的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（）

A、 $f^{'} (1) < f^{'} (2) < f (2) - f (1) < 0$ B、 $f^{'} (2) < f (2) - f (1) < f^{'} (1) < 0$ C、 $f^{'} (1) < f (2) - f (1) < f^{'} (2) < 0$ D、 $f (2) - f (1) < f^{'} (1) < f^{'} (2) < 0$

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2、 $(2 - \frac{3}{x^{2}}) {(1 + x)}^{5}$ 展开式中 $x^{3}$ 的系数为（）

A、17 B、20 C、75 D、100

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3、2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数 $p$ 使得 $p + 2$ 是素数，素数对 $(p, p + 2)$ 称为孪生素数，从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（）

A、 $\frac{1}{14}$ B、 $\frac{1}{7}$ C、 $\frac{3}{14}$ D、 $\frac{1}{3}$

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4、若函数 $y = f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的导数等于 $a$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + 2 Δ x) - f (x_{0})}{Δ x}$ 的值为（）

A、 $a$ B、 $2 a$ C、 $3 a$ D、 $\frac{1}{2} a$

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5、已知随机变量 $X$ 的分布列为 $P (X = k) = \frac{1}{2^{k}}, k = 1, 2, 3, \dots$ ，则 $P (1 < X \leq 3) =$ （）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{3}{32}$ C、 $\frac{5}{42}$ D、 $\frac{3}{8}$

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6、设函数 $f (x) = a x + 1$ ，若 $f^{'} (1) = 2$ ，则 $a =$ （）

A、2 B、 $- 2$ C、3 D、 $- 3$

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7、设集合 $P \subseteq N^{*}$ ，且P中至少有两个元素，若集合Q满足以下三个条件：
① $Q \subseteq N^{*}$ ，且Q中至少有两个元素；
②对于任意 $m, n \in P$ ，当 $m \neq n$ ，都有 $m + n \in Q$ ；
③对于任意 $u, v \in Q$ ，若 $v > u$ ，则 $v - u \in P$ ；
则称集合Q为集合P的“耦合集”．

(1)、若集合 $P_{1} = \{2, 4, 6\}$ ，求集合P₁的“耦合集” $Q_{1}$ ；

(2)、集合 $P_{2} = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\}, a_{i} \in N^{*}, i = 1, 2, 3, 4$ ，且 $a_{1} < a_{2} < a_{3} < a_{4}$ ，若集合 $P_{2}$ 存在“耦合集” $Q_{2}$ ．
（i）求证：对于任意 $1 \leq i < j \leq 4$ ，有 $a_{j} - a_{i} \in P_{2}$ ；
（ii）求集合 $P_{2}$ 的“耦合集” $Q_{2}$ 的元素个数．

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8、如图，李明从家里出发到公司有两条主干道，在主干道Ⅰ有 $R_{1}, R_{2}$ 两个易堵点， $R_{1}$ 处出现堵车的概率为 $\frac{1}{2}$ ，且当 $R_{1}$ 出现堵车时， $R_{2}$ 出现堵车的概率为 $\frac{2}{3}$ ；当 $R_{1}$ 不堵车时， $R_{2}$ 出现堵车的概率为 $\frac{1}{4}$ ；主干道Ⅱ有 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ 三个易堵点，它们出现堵车的事件相互独立，且概率都是 $\frac{1}{3}$ ．

(1)、若李明从家里出发到公司选择了主干道Ⅱ行驶，求其恰遇到一次堵车的概率；

(2)、若李明选择了主干道Ⅰ行驶，求其遇到堵车的概率；

(3)、已知李明从家里出发到公司，如遇堵车，主干道Ⅰ中每个易堵点平均拥堵为4分钟，主干道Ⅱ的每个易堵点需平均拥堵为3分钟．若按照“平均拥堵时间短的路线是较优出行路线”的标准，则李明从家里出发到公司走哪一条路线较好？

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9、已知函数 $f (x) = x^{2} - x - a \ln x, a > 0$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、函数 $f (x)$ 在区间 $[1, 2]$ 上为单调函数，求a的取值范围．

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10、某网上购物平台为了提高某商品的的销售业绩，对该商品近5个月的月销售单价x（单位：元）与月销量y（单位：个）之间的数据进行了统计，得到如下表数据：
单价x/元
180
190
200
210
220
月销量y/个
57
52
42
32
27

(1)、根据以往经验，y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；

(2)、若该商品的成本为140元/个，根据（1）中回归方程，求该商品月利润最大时的单价为多少元．（结果精确到1元）
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 201000, \sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 41200$ ．

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11、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ)$ ， $(ω > 0, - \frac{π}{2} \leq φ \leq \frac{π}{2})$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称，且相邻两个零点的距离为 $\frac{π}{2}$ ．

(1)、求ω和φ的值；

(2)、若 $α \in (0, π)$ ， $f (\frac{α}{2}) = \frac{2}{3}$ ，求 $\cos (α + \frac{3 π}{2})$ 的值．

(3)、若 $\exists x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，使得关于x的不等式 $f (x) \leq m$ 成立，求实数m的取值范围．

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12、摆线，又称旋轮线、圆滚线，是最速降线问题的解．在数学中，摆线的定义为：一个圆沿一条直线滚动时，圆边界上一定点所形成的轨迹．已知一个半径为2的圆，沿着x轴转动，角速度为 $1 (rad/s)$ ，如图，为描述圆边界上从原点出发的点所形成的轨迹，写出其横坐标关于旋转时间 $t (s)$ 的函数表达式 $x_{t} =$ ；其纵坐标关于旋转时间t的函数表达式 $y_{t} =$ ．

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13、写出在 $x = 0$ 处的切线方程为 $y = 2 x + 1$ 的一个二次函数 $g (x) =$ ．

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14、已知离散型随机变量 $ξ$ 的分布列如下表，则均值 $E (ξ) =$ ．
$ξ$
1
0
-1
P
0.5
0.3
q

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15、已知函数 $f (x, y) = {(2 x + 6 - \sin y)}^{2} + {(x - \cos y)}^{2}$ ，当且仅当 $\{\begin{array}{l} x = x_{0} \\ y = y_{0} \end{array}$ ， $f (x, y)$ 取得最小值，则下列说法正确的有（）

A、 $g (y) = f (0, y)$ 的最大值为37 B、 $h (x) = f (x, 0)$ 的最小值为 $\frac{64}{5}$ C、 $F (x) = f (x, y_{0})$ 在 $x = x_{0}$ 处导数等于0 D、当x和y取遍所有实数时，则所能达到的最小值为4

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16、某中学为了调查学生热爱阅读是否与学生的性别有关，从1200名女生和1500名男生中通过分层抽样的方式随机抽取180名学生进行问卷调查，将调查的结果得到等高堆积条形图如图所示，则
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．
a
0.050
0.010
0.001
$x_{a}$
3.841
6.635
10.828

A、可以估计该校学生中热爱阅读的女生人数比男生多 B、用样本的频率估计总体概率，从该校学生中任选1人，其热爱阅读的概率为0.65 C、根据小概率值 $α = 0.01$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验，可以认为学生是否热爱阅读与性别有关 D、根据小概率值 $α = 0.01$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验，可以认为学生是否热爱阅读与性别无关

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17、某地生产的甲、乙两类水果的质量 $X, Y$ （单位：kg）分别服从正态分布 $N (λ, σ_{1}^{2})$ ， $N (μ, σ_{2}^{2})$ ，它们的正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（）

A、 $λ < μ$ B、 $σ_{1} > σ_{2}$ C、 $P (X \geq x_{0}) > P (Y \geq x_{0})$ D、 $P (X \geq x_{0}) < P (Y \geq x_{0})$

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18、已知甲、乙两袋中装有大小相同、材质均匀的球，各袋中每个球被取出的概率相等．甲袋中有2个红球和4个蓝球，乙袋中有4个红球和4个蓝球，现从两袋中各取一个球，恰好一红一蓝，则其中红球来自与甲袋的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{1}{2}$

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19、若制作一个容积为 $32 ({cm}^{3})$ 的无盖正四棱柱容器（不考虑材料的厚度），要使所用材料最省，其底面边长为（）（ $cm$ ）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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20、 $\frac{1}{\sin 10 °} - \frac{\sqrt{3}}{\cos 10 °} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、4 C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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单价x/元	180	190	200	210	220
月销量y/个	57	52	42	32	27

$ξ$	1	0	-1
P	0.5	0.3	q

a	0.050	0.010	0.001
$x_{a}$	3.841	6.635	10.828