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相关试卷

1、一个不透明的袋子中装有大小形状完全相同的6个小球，其中3个黑球､3个白球.现从袋中随机逐个抽取小球，若每次取出的是黑球，则放回袋子中，否则不放回，直至3个白球全部取出.

(1)、求在第2次取出的小球为黑球的条件下，第1次取出的小球为白球的概率；

(2)、记抽取3次取出白球的数量为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列；

(3)、记恰好在第 $n$ 次取出第二个白球的概率为 $P_{n}$ ，求 $P_{n}$ .

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，且 $a_{2} = - 1$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} - b_{n - 1} = a_{n} (n \geq 2$ ， $n \in N^{*})$ ，且 $b_{1} = b_{3} = 1$ .

(1)、求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、将数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 的所有公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列 $\{c_{n}\}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、设数列 $\{\frac{1}{c_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < \frac{5}{4}$ .

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3、已知函数 $f (x) = (x^{2} + a x + 1) e^{x} (a \in R)$ .

(1)、当 $a = - 2$ 时，求过点 $(1, 0)$ 且与 $f (x)$ 图象相切的直线的方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性.

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4、某高中在高二年级举办创新作文比赛活动，满分100分，得分80及以上者获奖.为了解学生获奖情况与选修阅读课程之间的关系，在参赛选手中随机选取了50名学生作为样本，各分数段学生人数及其选修阅读课程情况统计如下：
成绩
$[0, 60)$
$[60, 70)$
$[70, 80)$
$[80, 90)$
$[90, 100]$
学生人数
6
10
24
7
3
选修读课程人数
0
3
9
4
4

(1)、根据以上统计数据完成下面的 $2 \times 2$ 列联表，依据 $α = 0.005$ 的独立性检验，能否认为学生获奖与选修阅读课程有关联；
获奖
没有获奖
合计
选修阅读课程
不选阅读课程
合计

(2)、在上述样本的获奖学生中随机抽取3名学生，设3人中选修阅读课程人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望.
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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5、南京大学2023年的本科生录取通知书用科赫曲线的数学规律鼓励新生成为独一无二的自己，还附赠“科赫雪花”徽章，意在有限的生命中，创造无限可能.科赫曲线的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程.下图展示的分别是1阶､2阶､3阶､4阶科赫曲线，设1阶科赫曲线的周长为 $L$ ，则 $n$ 阶科赫曲线的周长为；若 $n$ 阶科赫曲线围成的平面图形的面积为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} < T (n \in N^{*})$ ，则 $T$ 的最小值为

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6、若曲线 $f (x) = x ln \frac{1}{x}$ 与 $g (x) = a x^{2}$ 总存在关于原点对称的点，则 $a$ 的取值范围为.

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7、 ${(1 - 2 x)}^{5}$ 展开式中 $x^{3}$ 的系数为.

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8、设数列 $\{a_{n}\}$ 满足下列条件： $a_{i} \in \{0, 1\} (i = 1, 2, \dots, n)$ ，且当 $i \geq 2$ 时， $a_{i} a_{i - 1} = 0$ .记项数为 $m$ 的数列 $\{a_{n}\}$ 的个数为 $t_{m}$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $t_{2} = 3$ B、 $t_{3} = 6$ C、 $t_{n + 1} = t_{n} + t_{n - 1} (n \geq 2)$ D、 $\sum_{i = 1}^{2024} (t_{i} t_{i + 2} - t_{i + 1}^{2}) = 1$

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9、已知某两个变量 $x, y$ 具有线性相关关系，由样本数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \dots, 10)$ 确定的样本经验回归方程为 $y = - 2 x + 3.7$ ，且 $\bar{x} = 5$ .若剔除一个明显偏离直线的异常点 $(14, - 9)$ 后，利用剩余9组数据得到修正后的经验回归方程为 $y = b x + 0.4$ ，由修正后的方程可推断出（）

A、变量 $x, y$ 的样本相关系数为正数 B、经验回归直线恒过 $(4, - 6)$ C、 $x$ 每增加1个单位， $y$ 平均减少1.6个单位 D、样本数据 $(2, - 3)$ 对应的残差的绝对值为0.2

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10、某弹簧振子在振动过程中的位移 $y$ （单位： $mm$ ）与时间 $t$ （单位： $s$ ）之间的函数关系为 $y = 12 sin (\frac{π}{3} t - \frac{π}{2})$ ，则（）

A、 $t = 3 s$ 时，弹簧振子的位移为 $12mm$ B、 $t = 3 s$ 时，弹簧振子的瞬时速度为 $0 mm / s$ C、 $t = 3 s$ 时，弹簧振子的瞬时加速度为 $\frac{4}{3} π^{2} mm / s^{2}$ D、 $t = 1.5 s$ 时，弹簧振子的瞬时速度为 $4 πmm / s$

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11、已知 $a > - 1, b \in R$ ，且 $e^{a - b + 1} > \frac{b}{a + 1}$ ，则下列结论一定成立的是（）

A、 $a - b > - 1$ B、 $a - b < - 1$ C、 $a + b > - 1$ D、 $a + b < - 1$

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12、某产品只有一等品､二等品，现随机装箱销售，每箱15件.假定任意一箱含二等品件数为 $0, 1, 2$ 的概率分别为 $0.7, 0.2, 0.1$ .一顾客欲购一箱该产品，开箱随机查看其中1件，若该件产品为一等品，则买下这箱产品，否则退回，则该顾客买下这箱产品的概率为（）

A、 $\frac{13}{15}$ B、 $\frac{33}{35}$ C、 $\frac{73}{75}$ D、 $\frac{154}{175}$

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13、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + a x^{2} + x$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - 1]$ B、 $[- 1, 1]$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $[- 1, + \infty)$

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14、中心极限定理在概率论中应用广泛.根据该定理，若随机变量 $ξ \sim B (n, p)$ ，当 $n$ 充分大时， $ξ$ 可以由服从正态分布的随机变量 $η$ 近似替代，且 $η$ 的均值､方差分别与随机变量 $ξ$ 的均值､方差近似相等.某射手对目标进行400次射击，且每次射击命中目标的概率为 $\frac{4}{5}$ ，则估计射击命中次数小于336的概率约为（）
附：若 $η \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq η \leq μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq η \leq μ + 2 σ) = 0.9545, P (μ - 3 σ \leq η \leq μ + 3 σ) = 0.9973$ .

A、0.9987 B、0.9773 C、0.8414 D、0.5

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15、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = λ - 2^{n + 1}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 2$ D、2

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16、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 2, S_{3} = 12$ ，则 $S_{8} =$ （）

A、36 B、45 C、72 D、90

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17、从6名大学毕业生中任选3名去某中学支教，不同选派方法的总数为（）

A、12 B、18 C、20 D、120

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18、如图，在六面体 $A B C D E F$ 中， $D E / / C F$ ，正方形 $A B C D$ 的边长为2， $D E = 2 F C = 2, A E = 2 \sqrt{2}, B E = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、证明：平面 $A D E / /$ 平面 $B C F$ ；

(2)、求直线EF与平面 $A B C D$ 所成角的正切值；

(3)、求平面 $B E F$ 与平面 $A B C D$ 所成二面角的余弦值；

(4)、求多面体 $A B C D E F$ 的体积．

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19、已知向量 $\vec{m} = (\cos x, \sin x), \vec{n} = (\cos x, - \sin x)$ ，函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n} + \frac{1}{2}$ ．

(1)、若 $f (\frac{x}{2}) = 1, x \in (0, π)$ ，求 $tan (x + \frac{π}{4})$ 的值；

(2)、若 $f (α) = - \frac{1}{10}, α \in (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}), sin β = \frac{7 \sqrt{2}}{10}, β \in (0, \frac{π}{2})$ ，求 $2 α + β$ 的值；

(3)、设 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $b = 2$ ，且锐角B满足 $f (B) = 0$ ，求 $a + c$ 的取值范围．

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20、（1）叙述并证明平面与平面平行的性质定理；
（2）设 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面， $m$ ， $n$ 是平面 $α$ ， $β$ 之外的两条不同直线，给出四个论断：① $α ⊥ β$ ；② $m ⊥ n$ ；③ $m ⊥ α$ ；④ $n ⊥ β$ ．以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，写出一个正确的命题，并证明．

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成绩	$[0, 60)$	$[60, 70)$	$[70, 80)$	$[80, 90)$	$[90, 100]$
学生人数	6	10	24	7	3
选修读课程人数	0	3	9	4	4

	获奖	没有获奖	合计
选修阅读课程
不选阅读课程
合计

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828