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相关试卷

1、2023年4月21日，以“去南充，Lang起来”为主题的南充文旅（成都）推介会在成都宽窄巷子举行．本次推介会围绕“六百里秀美嘉陵江，两千年人文南充城”展开，通过川北大木偶、川剧快闪等多个环节，展示了将帅故里、锦绣南充的文旅资源，同时还向成都市民和广大游客推介了千年古城阆中游、将帅故里红色游、山水风光览胜游、亲子行读研学游和潮流江岸时尚游等五条精品旅游线路，为了解本次推介会的效果，随机抽取了 $x$ 名观众进行有奖知识答题，现将答题者按年龄分成5组，第一组： $[20, 25)$ ，第二组： $[25, 30)$ ，第三组： $[30, 35)$ ，第四组： $[35, 40)$ ，第五组： $[40, 45]$ 进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，若第一组有5人．

(1)、求 $x$ ；

(2)、现用分层抽样的方法从第四组和第五组中抽取6人，再从这6人随机抽取2人作为幸运答题者，求这2人幸运答题者恰有1人来自第五组的概率．

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2、某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队，要求选拔过程分前后两次进行，当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔，两次选拔过程相互独立.根据甲、乙、丙三人现有的水平，第一次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为 $0.5$ ， $0.6$ ， $0.4$ .第二次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为 $0.6$ ， $0.5$ ， $0.5$ .
（1）求第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格的概率；
（2）分别求出甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格的概率；
（3）求甲、乙、丙经过前后两次选拔后，恰有一人合格的概率.

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3、已知函数 $f (x) = e^{x} - 6 k x + 1, g (x) = k x^{3} + 2, k \in R$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、令 $h (x) = f^{'} (x) - g^{'} (x)$ ，当 $k = 1$ 时，求 $h (x)$ 的极值点个数；

(3)、令 $φ (x) = f (x) - g (x)$ ，当 $φ (x)$ 有且仅有两个零点时，求 $k$ 的取值范围.

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4、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D, P A = P D$ ，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $B C = 2 \sqrt{3}, C D = \sqrt{6}, E$ 为边 $B C$ 的中点， $∠ B C D = \frac{π}{4}$ .

(1)、求证： $P A ⊥ D E$ ；

(2)、已知二面角 $P - B C - D$ 的平面角等于 $\frac{π}{3}$ ，则在线段 $A B$ 上是否存在点 $M$ ，使得 $M$ 到平面 $P B C$ 的距离为 $\frac{3}{4}$ ，若存在，指出点 $M$ 的位置；若不存在，说明理由.

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5、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x$ 的焦点为 $F$ ，点 $F$ 在直线 $2 x + 3 y - 2 = 0$ 上， $A, B$ 是抛物线 $C$ 上两个不同的点.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $O A, O B$ 的斜率为 $k_{O A}, k_{O B}$ ，若 $k_{O A} \cdot k_{O B} = - 2$ ，证明：直线 $A B$ 过定点，并求定点坐标.

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6、已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边，且 $\sqrt{3} a sin C + a cos C - b = c$ ，点 $D$ 为 $B C$ 边的中点，若 $A D = \sqrt{3}$ ，且 $2 b^{2} - a^{2} = 4$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积.

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7、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |ln (1 - x)|, x < 1 \\ {(x - 2)}^{2} + a, x \geq 1 \end{array}, g (x) = \frac{1}{e} (1 - x)$ ，若函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象有且仅有三个交点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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8、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右焦点，过点 $F_{1}$ 的直线与双曲线 $C$ 的左右两支分别交于 $P, Q$ 两点， $△ P F_{1} F_{2}$ 和 $△ Q F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径分别为 $r_{1}, r_{2}$ .设点 $H$ 为 $△ Q F_{1} F_{2}$ 的内心， $△ H F_{1} F_{2}$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ H Q F_{2}$ 的面积为 $S_{2}$ ， $△ H Q F_{1}$ 的面积为 $S_{3}$ ，且 $S_{1} : S_{2} : S_{3} = 3 : 3 : 4$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $|Q F_{1} |=| F_{1} F_{2}|$ B、双曲线 $C$ 的离心率 $e = 3$ C、 $\frac{r_{1}}{r_{2}} = \frac{1}{2}$ D、 $|Q H| = \frac{4 \sqrt{30}}{5} a$

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9、已知函数 $f (x) = e^{x} + 2 x + 3$ ，其导函数为 $y = f^{'} (x)$ ，当 $x \in [\frac{1}{2}, 3]$ 时，不等式 $f^{'} (x) < (a + \frac{2}{x}) (ln a + ln x) (a > 0)$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(e, + \infty)$ B、 $(\frac{e^{3}}{3}, + \infty)$ C、 $(2 \sqrt{e}, + \infty)$ D、 $(1, + \infty)$

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10、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0), F_{1} (- 1, 0), F_{2} (1, 0)$ 分别为椭圆的左右焦点，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，点 $P$ 为直线 $x = a^{2}$ 上的一点.当 $△ P F_{1} F_{2}$ 的外接圆周长取最小值时，该圆的半径为（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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11、甲乙两人参加一项户外挑战赛，该挑战赛设置了多道关卡，已知两人是否通过某道关卡是相互独立的，且两人中至少有一人通过当前关卡，才有资格同时进入下一关挑战，否则挑战结束.已知在第一关中甲乙两人通过的概率分别为 $\frac{3}{5}, \frac{3}{10}$ ，若两人有资格挑战第二关，则在第一关中，甲通过的概率为（）

A、 $\frac{7}{12}$ B、 $\frac{7}{9}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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12、将一个底面半径为2，高为 $2 \sqrt{3}$ 的圆锥形石材打磨成一个球，则该球表面积的最大值为（）

A、 $\frac{16 π}{3}$ B、 $\frac{32 π}{3}$ C、 $\frac{32 \sqrt{3} π}{27}$ D、 $\frac{8 \sqrt{3} π}{27}$

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13、已知角 $α$ 顶点与原点重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，则它的终边过点 $(3, 4) ，$ 若将角 $α$ 的终边绕坐标原点顺时针旋转 $\frac{π}{6}$ 得到角 $β$ ，则 $sin β =$ （）

A、 $\frac{3 \sqrt{3} - 4}{10}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3} + 4}{10}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3} - 3}{10}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3} + 3}{10}$

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14、若函数 $f (x) = k + \frac{e}{e^{x} - 1}$ 为奇函数，则 $k =$ （）

A、 $- \frac{e}{2}$ B、 $\frac{e}{2}$ C、 $- e$ D、 $e$

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15、已知集合 $A = \{- 3, - 2, - 1, 0, 1\}, B = \{x ∣ x^{2} \leq 5\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, - 1, 0\}$ B、 $\{- 2, - 1\}$ C、 $\{- 2, - 1, 1\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0, 1\}$

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16、已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin x＋cos x，则f(x)的单调递增区间为 .

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17、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $k$ 项的最小值为 $b_{k}$ ，称数列 $\{b_{n}\}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的“ $M$ 数列”.

(1)、若 $a_{n} = (n - 4) \cdot 3^{n}$ ，求由数列 $\{a_{n}\}$ 的“ $M$ 数列” $\{b_{n}\}$ 的所有项组成的集合；

(2)、若数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 都只有4项， $\{b_{n}\}$ 是 $\{a_{n}\}$ 的“ $M$ 数列”，满足 $a_{k} \in \{1, 2, 3, 4\} (k = 1, 2, 3, 4)$ ，且存在 $i \in \{1, 2, 3, 4\}$ ，使得 $b_{i} = 1$ ，求符合条件的数列 $\{b_{n}\}$ 的个数；

(3)、若 $a_{n} = n cos \frac{(n + 1) π}{2}, \{a_{n}\}$ 的“ $M$ 数列”为 $\{b_{n}\}$ ，记 $S_{n} = |b_{1}| + |b_{2}| + \dots |b_{n}|$ ，从 $S_{1}, S_{2}$ ，
$S_{3}, \dots, S_{4 n} (n \geq 3)$ 中任取3个，记其中能被2整除且不能被4整除的个数为 $X$ ，求 $E (X)$ .

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18、如图，已知 $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B C$ .

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $A B = B C = 2$ ，且平面 $P A C$ 与平面 $P B C$ 的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ ，求 $P A$ 的长.

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19、已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{a}{x} - a$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 有极小值，且 $f (x)$ 的极小值小于 $1 - a^{2}$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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20、已知 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, sin 2 C = \frac{1}{2} sin C$ .

(1)、求 $sin C$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ ，且 $a + b = \frac{2 \sqrt{6}}{3} c$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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