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相关试卷

1、 $\vec{a} = (2, x, - 1)$ ， $\vec{b} = (1, 2, 0)$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ ，则 $|\vec{a}| =$ ．

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2、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点 $E$ ， $F$ 在四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所在的平面内，若 $|A E| = \sqrt{5}$ ， $A C ⊥ D F$ ，则下述结论正确的是（）

A、二面角 $A_{1} - B D - A$ 的平面角的正切值为2 B、 $C F ⊥ A C_{1}$ C、点 $E$ 的轨迹是一个圆 D、直线 $D F$ 与平面 $A_{1} B D$ 所成角的正弦值的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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3、已知圆 $O_{1} : x^{2} + y^{2} + 2 x = 0$ 与圆 $O_{2} : x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 2 = 0$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则（）

A、两圆的公切线有2条 B、 $A B$ 直线方程为 $2 x + y + 1 = 0$ C、 $|A B| = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、动点 $P (x, y)$ 在圆 $O_{1}$ 上，则 $x^{2} + {(y - 1)}^{2}$ 的最大值为 $\sqrt{2} + 1$

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4、已知F₁ ， F₂分别是椭圆C： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（）

A、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为10 B、 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $2 \sqrt{5}$ C、椭圆C的焦距为6 D、椭圆C的离心率为 $\frac{4}{9}$

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5、设椭圆 $C$ 的两个焦点是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 的直线与椭圆 $C$ 交于点 $P$ ， $Q$ 若 $|P F_{2}| = |F_{1} F_{2}|$ ，且 $3 |P F_{1}| = 4 |Q F_{1}|$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{5}{7}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{4}$

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6、已知直线 $l$ ： $x - y - 2 = 0$ 与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ ，过直线 $l$ 上的任意一点 $P$ 作圆 $O$ 的切线 $P A$ ， $P B$ ，切点分别为A， $B$ ，则 $∠ A P B$ 的最大值为（）

A、 $\frac{3π}{4}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{6}$

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7、已知点 $A (3, 0)$ ， $B (5, 0)$ ， $C (0, 5)$ ，圆 $M : {(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 1$ ，一条光线从 $A$ 点发出，经直线 $B C$ 反射到圆 $M$ 上的最短路程为（）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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8、如图，空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $M$ 在线段 $O A$ 上，且 $O M = 2 M A$ ，点 $N$ 为 $B C$ 的中点，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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9、直线 $l_{1}$ ： $x - y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $2 x - 2 y + 3 = 0$ 的距离是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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10、函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4} + \frac{1}{x - 3}$ 的定义域为（）

A、 $[2, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 2]\cup[2, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 2]\cup[2, 3) \cup (3, + \infty)$ D、 $[2, 3) \cup (3, + \infty)$

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11、中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为“梦之队”.2024年巴黎奥运会，中国乒乓球队包揽全部五枚金牌.其中团体赛由四场单打和一场双打比赛组成，采用五场三胜制.每个队由三名运动员组成，当一个队赢得三场比赛时，比赛结束.2024年8月10日，中国队对战瑞典队，最终以 $3 : 0$ 取得团体赛冠军，赛前某乒乓球爱好者对赛事情况进行分析，根据以往战绩，中国队在每场比赛中获胜的概率均为 $\frac{4}{5}$ .

(1)、求中国队以 $3 : 0$ 的比分获胜的概率；

(2)、求中国队在已输一场的情况下获胜的概率；

(3)、求至多进行四场比赛的概率.

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12、若 $x > 2$ ，则 $y = x + \frac{4}{x - 2}$ 的最小值为（）

A、4 B、5 C、6 D、8

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13、集合 $A = \{x | - 1 \leq x \leq 2\}$ ， $B = \{x | x < 1\}$ ，则 $A \cup (∁_{R} B)$ ＝（）

A、 $\{x | x > 1\}$ B、 $\{x | x \geq - 1\}$ C、 $\{x | 1 < x \leq 2\}$ D、 $\{x | 1 \leq x \leq 2\}$

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14、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ ，若 $\exists x \in [2, + \infty)$ 对 $\forall a \in [- 1, 1]$ 均有 $f (x) < m - 2 a m + 2$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- 3, 1)$ B、 $(- \frac{1}{3}, 1)$ C、 $(- 1, \frac{1}{3})$ D、 $(- 1, 3)$

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15、已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $[- 1, 4]$ ，则 $y = \frac{f (2 x + 1)}{\sqrt{x - 1}}$ 的定义域为（）

A、 $[- 1, \frac{3}{2})$ B、 $(1, \frac{3}{2}]$ C、 $(1, 9]$ D、 $[- 5, \frac{3}{2}]$

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16、已知圆M的圆心在y轴上，半径为2，且经过点 $A (- 2, 2)$ .

(1)、求圆M的标准方程；

(2)、设点 $D (0, 1)$ ，过点D作直线 $l_{1}$ ，交圆M于P，Q两点（P，Q不在y轴上），过点D作与直线 $l_{1}$ 垂直的直线 $l_{2}$ ，交圆M于E，F两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值.

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17、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $C D ⊥$ 平面 $P A D$ ， $△ P A D$ 为等腰三角形， $P A = P D = \sqrt{5}$ ， $A D ∥ B C$ ， $A D = C D = 2 B C = 2$ ，点 $E, F$ 分别为棱 $P D, P B$ 的中点．

(1)、求证：直线 $B D //$ 平面 $A E F$ ；

(2)、求直线 $B D$ 到平面 $A E F$ 的距离；

(3)、试判断棱 $P C$ 上是否存在一点G，使平面 $A E F$ 与平面 $A D G$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{35}}{7}$ ，若存在，求出 $\frac{P G}{P C}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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18、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3$ ， $A D = A A_{1} = 2$ ，点 $E$ 在 $A B$ 上，且 $A E = 1$ .

(1)、求直线 $B C_{1}$ 与直线 $C E$ 所成角的大小；

(2)、求直线 $B C_{1}$ 与平面 $A_{1} E C$ 所成角的正弦值；

(3)、若点 $P$ 在侧面 $A_{1} A B B_{1}$ 上，且点 $P$ 到直线 $B B_{1}$ 和 $C D$ 的距离相等，求点P到直线 $A D_{1}$ 距离的最小值．

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19、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 4 = 0$ ，圆 $C_{1} : {(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 及点 $P (3, 1)$ .

(1)、判断圆 $C$ 和圆 $C_{1}$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、若斜率为 $k$ 的直线 $l$ 经过点 $P$ 且与圆 $C$ 相切，求直线 $l$ 的方程.

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20、如图所示，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $\vec{C A} = \vec{a}, \vec{C B} = \vec{b}, \vec{C C_{1}} = \vec{c}$ ， $C A = C B = C C_{1} = 2$ ， $∠ A C B = ∠ A C C_{1} = \frac{2 π}{3}$ ， $∠ B C C_{1} = \frac{π}{2}$ ，点 $N$ 是棱 $A B$ 的中点，点 $M$ 在棱 $C_{1} B_{1}$ 上，且 $C_{1} M = 2 M B_{1}$ .

(1)、用 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示向量 $\vec{A M}$ ；

(2)、求 $|\vec{A M}|$ ；

(3)、求证： $A M ⊥ A_{1} N$ .

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