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相关试卷

1、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C = A B_{1} = 2, A B_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A C_{1} ⊥$ $A C$ ， $D, E$ 分别是 $A C ， B_{1} C_{1}$ 的中点.
（Ⅰ）证明： $A C ⊥ B_{1} C_{1}$ ；
（Ⅱ）证明： $D E / /$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ；
（Ⅲ）求 $D E$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成角的正弦值.

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2、若△ $A B C$ 同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的三个条件并解决下列问题：

(1)、求边 $a$ 的值；

(2)、求△ $A B C$ 的面积.
条件①： $a \cos A = b \sin A$ ；
条件②： $b = a + 2$ ；
条件③： $\sin C = \frac{1}{2}$ ；
条件④： $c^{2} \cdot \cos C = - 10 \sqrt{3} - 12$ .
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.

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3、已知函数 $f (x) = {sin}^{2} x + 2 sin x cos x - {cos}^{2} x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求不等式 $f (x) \geq - 1$ 的解集；

(3)、从条件①，条件②，条件③选择一个作为已知条件，求 $m$ 的取值范围.
① $f (x)$ 在 $(0, m)$ 有恰有两个极值点；
② $f (x)$ 在 $(0, m)$ 单调递减；
③ $f (x)$ 在 $(0, m)$ 恰好有两个零点.
注：如果选择的条件不符合要求，0分；如果选择多个符合要求的条件解答，按第一个解答计分.

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}, a_{1} = 1$ 且 $a_{n + 1} = S_{n}^{2} + 1, (n \in N^{*})$ ，给出下列四个结论：①长度分别为 $1, a_{n + 1}, S_{n}$ 的三条线段可以构成一个直角三角形：② $\forall n \in N^{*}, S_{n} \geq 2^{n - 1}$ ；③ $\forall n \in N^{*}, a_{n} + a_{n + 2} < 2 a_{n + 1}$ ；④ $\forall n \in N^{*}, a_{n + 1} = 2 a_{n} \cos \frac{π}{2^{n + 1}}$ .其中所有正确结论的序号是.

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5、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \sqrt{x - 2} + a, x \geq 2 \\ |a^{x} - 2|, x < 2 \end{array}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）．给出下列四个结论：
①当 $a = 2$ 时，存在 $t$ ，方程 $f (x) = t$ 有唯一解；
②当 $a \in (0, 1)$ 时，存在 $t$ ，方程 $f (x) = t$ 有三个解；
③对任意实数 $a$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）， $f (x)$ 的值域为 $[0, + \infty)$ ；
④存在实数 $a$ ，使得 $f (x)$ 在区间 $(a, + \infty)$ 上单调递增；
其中所有正确结论的序号是．

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6、已知角 $x$ 在第二象限，且 $sin (x + \frac{π}{2}) = - \frac{4}{5}$ ，则 $\tan 2 x$ =.

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7、复数 $\frac{2 + i}{1 - 2 i} =$ ；对应的点坐标为；虚部是；模长为=.；共轭复数是.

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8、2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实验：目标P在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距 $7 m$ 的A，B两点各放置一个传感器，分别实时记录A，B两点与物体P的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图象，分别如曲线a，b所示. $t_{1}$ 和 $t_{2}$ 分别是两个函数的极小值点.曲线a经过 $(0, r_{0}), (t_{1}, r_{1})$ 和 $(t_{2}, r_{0})$ ，曲线b经过 $(t_{2}, r_{2})$ .已知 $r_{1} t_{1} = r_{2} t_{2}, r_{1} = 4 m, t_{2} = 4 s$ ，并且从 $t = 0$ 时刻到 $t = t_{2}$ 时刻P的运动轨迹与线段AB相交.分析曲线数据可知，P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值以及P的速度大小分别为（）

A、 $\frac{6}{7}, \frac{\sqrt{13}}{4} m / s$ B、 $\frac{6}{7}, \frac{\sqrt{13}}{2} m / s$ C、 $\frac{2}{7}, \frac{3 \sqrt{5}}{4} m / s$ D、 $\frac{2}{7}, \frac{3 \sqrt{5}}{2} m / s$

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9、十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，左图中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱重叠而成的几何体（如右图）.这两个直三棱柱有一个公共侧面ABCD.在底面BCE中，若 $B E = C E = 3$ ， $∠ B E C = 120 °$ ，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{27}{2}$ B、 $\frac{27 \sqrt{3}}{2}$ C、27 D、 $27 \sqrt{3}$

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10、已知向量 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ 满足 $|\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}| = 3$ ， $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} = 0$ ，若 $\overset{⃑}{c} = λ \overset{⃑}{a} + (1 - λ) \overset{⃑}{b} (λ \in R)$ ，且 $\overset{⃑}{c} \cdot \overset{⃑}{a} = \overset{⃑}{c} \cdot \overset{⃑}{b}$ ，则 $|\overset{⃑}{c}|$ 的最大值为（）

A、3 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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11、函数 $f (x) = 2 \cos^{2} (ω x + φ) + b$ 的部分图象如图所示，则以下说法正确的是（）

A、 $ω = \frac{π}{2}, b = 1$ B、 $ω = \frac{π}{2}, b = - 1$ C、 $ω = π, b = 1$ D、 $ω = π, b = - 1$

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12、下列命题中，真命题的是（）

A、若 $a < b$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > a b > b^{2}$ C、若 $0 < a < b < c$ ，则 $\log_{c} a < \log_{c} b$ D、若 $a + 2 b = 2$ ，则 $2^{a} + 4^{b} \geq 4$

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13、若 $| \vec{a} | = 1, | \vec{b} | = 2, (\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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14、下列函数既是奇函数，又在 $(0, + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{x - 1}$ B、 $f (x) = 2^{| x |}$ C、 $f (x) = \tan x$ D、 $f (x) = 2 x - \frac{1}{x}$

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15、已知集合 $M = \{x | (x + 3) (x - 1) \leq 0\}$ ， $N = \{x | |x| < 2\}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 $(- 2, 1]$ B、 $[- 3, 2)$ C、 $(- 2, 3]$ D、 $[- 1, 2)$

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16、对于函数 $f (x)$ ，若存在 $x_{0} \in R$ ，使 $f (x_{0}) = x_{0}$ 成立，则称 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的不动点.已知函数 $f (x) = a x^{2} + (b + 1) x + (b - 1)$ $(a \neq 0)$ .
（1）当 $a = 1$ ， $b = - 3$ 时，求函数 $f (x)$ 的不动点；
（2）若对任意实数 $b$ ，函数 $f (x)$ 恒有两个相异的不动点，求 $a$ 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若 $f (x)$ 的两个不动点为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) + x_{2} = \frac{- a}{a + 1}$ ，求实数 $b$ 的取值范围.

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17、通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f（t）表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f（t）越大，表明学生注意力越集中）经过实验分析得知： $f (t) = \{\begin{array}{l} - t^{2} + 24 t + 100, (0 < t ⩽ 10) \\ 240, (10 < t ⩽ 20) \\ - 7 t + 380, (20 < t ⩽ 40) \end{array}$ ．

(1)、讲课开始后第5分钟与讲课开始后第25分钟比较，何时学生的注意力更集中？

(2)、讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？

(3)、一道比较难的数学题，需要讲解25分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？

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18、已知函数 $f (x) = \frac{m x + n}{x^{2} + 1}$ 是定义在 $[- 1, 1]$ 上的奇函数，且 $f (1) = 1$

(1)、求 $m, n$ 的值；

(2)、用定义法判定 $f (x)$ 的单调性；

(3)、求使 $f (a - 1) + f (a^{2} - 1) < 0$ 成立的实数 $a$ 的取值范围.

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19、已知命题 $p : \forall x \in R, m x^{2} - m x + 1 > 0$ ；命题 $q : \exists x \in R, x^{2} + 4 m x + 1 < 0$ .

(1)、若命题 $q$ 为真命题，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若命题 $p, q$ 中至少有一个为真命题，求实数 $m$ 的取值范围.

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20、已知当 $x \in [a, a + 1]$ 时，函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ 的最大值为 $4$ ，则 $a$ 的值为

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