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相关试卷

1、《孙子算经》中提到“物不知数”问题．如：被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，即3，8，13，18，……，构成数列 $\{a_{n}\}$ ，记数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则 $\frac{2 S_{n} + 20}{n}$ 的最小值为．

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2、化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式 $S F_{6}$ ）的分子结构、金刚石等.如图，将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体 $E - A B C D - F$ ，已知该正八面体的棱长为2，则（）

A、 $E F ⊥ A D$ B、该正八面体的体积为 $\frac{8 \sqrt{2}}{3}$ C、该正八面体外接球的表面积为 $\frac{2}{3} π$ D、若P为棱 $E B$ 上的动点，则 $A P + C P$ 的最小值为 $2 \sqrt{3}$

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3、已知函数 $f (x) = \cos (ω x + φ) (ω > 0, φ \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}))$ 的部分图象如图所示，将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{1}{4}$ 个单位长度后得到 $y = g (x)$ 的图象，则（）

A、 $ω = π$ B、 $φ = - \frac{π}{4}$ C、 $g (x)$ 为奇函数 D、 $g (x)$ 在区间 $(k + \frac{1}{4}, k + 1) (k \in Z)$ 上单调递增

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4、某校为了解学生对党史知识的掌握情况，从全校随机抽取了100名学生，将他们的成绩（单位：分）分成5组： $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中未知的数据a，b，c成等差数列，成绩落在 $[60, 70)$ 内的人数为40.从分数在 $[70, 80)$ 和 $[80, 90)$ 的两组学生中采用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中抽取3人，设事件 $A =$ “至少1人成绩在 $[80, 90)$ 内”，事件 $B =$ “3人成绩均在 $[70, 80)$ 内”.则（）

A、 $b = 0.03$ B、 $c = 0.02$ C、A与B是互斥事件，但不是对立事件 D、估计该校学生党史知识成绩的第80百分位数为82.5分

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5、已知 $α, β \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\cos (2 α - 2 β) = \frac{7}{25}$ ， $\sin α \sin β = \frac{3}{5}$ ，则 $\sin (2 α + 2 β) =$ （）

A、 $- \frac{4 \sqrt{21}}{25}$ B、 $\frac{4 \sqrt{21}}{25}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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6、在 $△ A B C$ 中， $E$ 为 $A B$ 的中点， $D$ 在边 $B C$ 上， $A D$ 与 $C E$ 相交于点 $F$ ，且 $\vec{C F} = \frac{3}{4} \vec{C E}$ ， $\vec{C B} = λ \vec{C D}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、2 D、 $\frac{7}{3}$

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7、从集合 $\{1, 2, 3, 4, \dots, 15\}$ 中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样的等差数列有（）个

A、98 B、56 C、84 D、49

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8、设抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，过抛物线上点P作其准线的垂线，垂足为Q，若 $∠ P Q F = 30 °$ ，则 $|P Q| =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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9、如图1，一个圆柱形笔筒的底面直径为 $9 cm$ ，（笔筒壁的厚度忽略不计），母线长为 $16 cm$ ，该圆柱形笔筒的直观图如图2所示， $A B$ ， $C D$ 分别为该圆柱形笔筒的上底面和下底面直径，且 $A B ⊥ C D$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 的体积为（）

A、 $230 {cm}^{3}$ B、 $224 {cm}^{3}$ C、 $216 {cm}^{3}$ D、 $208 {cm}^{3}$

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10、已知 $\{a_{n}\}$ 为等比数列， $a_{2} a_{3} a_{7} = a_{4} a_{6}$ ， $a_{9} a_{10} = - 27$ ，则 $a_{7} =$ （）

A、3 B、2 C、 $- 2$ D、 $- 3$

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11、设 $z = \frac{3 + i}{1 + i^{2} + i^{7}}$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 1 - 3 i$ B、 $- 1 + 3 i$ C、 $1 - 3 i$ D、 $1 + 3 i$

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12、已知集合 $A = \{x |y = \log_{3} (1 - x)\}$ ， $B = \{x |x > 3\}$ ，则 $∁_{R} (A \cup B) =$ （）

A、 $\{x |1 < x < 3\}$ B、 $\{x |1 \leq x < 3\}$ C、 $\{x |1 < x \leq 3\}$ D、 $\{x |1 \leq x \leq 3\}$

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13、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差 $d = - 1$ ，且 $a_{2}, a_{4}, a_{5}$ 成等比数列，则 $S_{11} =$ .

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14、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，对一切 $n \in N$ ， $n \geq 1$ ，点 $(n, \frac{S_{n}}{n})$ 都在函数 $f (x) = x + \frac{a_{n}}{2 x}$ 图象上.

(1)、求 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ，归纳数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式（不必证明）：

(2)、将数列 $\{a_{n}\}$ 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为 $(a_{1})$ 、 $(a_{2}, a_{3})$ 、 $(a_{4}, a_{3}, a_{6})$ 、 $(a_{7}, a_{8}, a_{0}, a_{10})$ 、 $(a_{11})$ 、 $(a_{12}, a_{13})$ 、 $(a_{14}, a_{15}, a_{16})$ 、 $(a_{17}, a_{18}, a_{19}, a_{20})$ 、 $(a_{21})$ 、…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成新的数列为 $\{b_{n}\}$ ，求 $b_{5} + b_{100}$ 的值；

(3)、设 $A_{n}$ 为数列 $\{\frac{a_{n} - 1}{a_{n}}\}$ 的前n项积，若不等式 $A_{n} \sqrt{a_{n} + 1} < f (a) - \frac{a_{n} + 3}{2 a}$ 对一切 $n \in N^{*}$ 都成立，求a的取值范围.

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15、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ ， $g (x) = \ln x - a x$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a < e$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的零点个数

(2)、记函数 $F (x) = f (x) - g (x)$ 的最小值为m，求 $G (x) = e^{x} - e^{m} \ln x$ 的最小值.

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16、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求四边形 $A B C D$ 的面积.

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17、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD，底面ABCD为梯形， $A B // C D$ ， $A B = 2 D C = 2 \sqrt{3}$ ， $A C \cap B D = F$ 且 $△ P A D$ 与 $△ A B D$ 均为正三角形，G为 $△ P A D$ 的重心.
（1）求证： $G F //$ 平面PDC；
（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.

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18、已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边，且 $(2 b - a) cos C = c \cdot cos A$

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $c^{2} = 2 a b, △ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $a + b$ 的值.

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19、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，记 $f^{'} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导函数，且满足 $f (x) + f^{'} (x) =$ $e^{x} - e^{- x} + 2 x e^{x}$ ，则不等式 $f (x) + \frac{x}{e^{x}} < e$ 的解集为.

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20、在 ${(1 - 2 x)}^{5} (2 + x)$ 展开式中， $x^{4}$ 的系数为.

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