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相关试卷

1、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\frac{\sin C}{\sin A} = \frac{2 \cos B + \cos C}{2 - \cos A}$ .

(1)、求A；

(2)、若 $b = 2$ ， $a sin A = b sin C$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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2、中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用100℃的水泡制，等到茶水温度降至60℃时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔 $1min$ 测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据：
时间/min
0
1
2
3
4
5
水温/℃
100.00
92.00
84.80
78.37
72.53
67.27
设茶水温度从100℃开始，经过 $x \min$ 后的温度为 $y ℃$ ，现给出以下三种函数模型：
① $y = k x + b$ （ $k < 0$ ， $x \geq 0$ ）；
② $y = k a^{x} + b$ （ $k > 0$ ， $0 < a < 1$ ， $x \geq 0$ ）；
③ $y = \log_{a} (x + k) + b$ （ $a > 1$ ， $k > 0$ ， $x \geq 0$ ）．

(1)、从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前 $2 \min$ 的数据求出相应的解析式；

(2)、根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）；

(3)、考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，试判断进行实验时的室温为多少℃，并说明理由．（参考数据： $\lg 2 \approx 0.301$ ， $\lg 3 \approx 0.477$ ．）

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3、若函数 $f (x) = |x| + 2 {log}_{5} (x^{2} + 1)$ ，则不等式 $f (\ln x) + f (\ln \frac{1}{x}) - 8 \geq 0$ 的解集为．

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4、定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足：当 $x \geq 0$ ， $f (x) = {log}_{2} (x + 2) + m$ ，则 $f (- 2) =$ ．

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5、已知点 $(3, \frac{1}{9})$ 在幂函数 $f (x) = x^{α}$ 的图象上，设 $a = f ({log}_{2} 3)$ ， $b = f (ln 2)$ ， $c = f (\sqrt{5})$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $b > c > a$ D、 $a > c > b$

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6、已知某扇形的周长为4，则该扇形的面积的最大值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7、函数 $f (x) = x^{2} - 2 x, g (x) = a x - 1$ ，若 $\forall x_{1} \in [- 1, 2], \exists x_{2} \in [- 1, 2]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则a的取值范围是.

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8、已知 $a < 1$ ，则 $\sqrt{{(a - 1)}^{2}} + \sqrt[3]{a^{3}} =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $2 a - 1$ D、 $1 - 2 a$

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9、函数 $f (x) = (x^{2} - 2 x) e^{x}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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10、下列函数中与函数 $y = x$ 是同一函数的是（）

A、 $y = {(\sqrt{x})}^{2}$ B、 $m = \frac{n^{2}}{n}$ C、 $y = \sqrt{x^{2}}$ D、 $u = \sqrt[3]{v^{3}}$

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11、对 $\forall x \in R$ ，使 $x^{2} - m x + 1 > 0$ 恒成立的一个充分不必要条件是（）

A、 $(- 2, 2)$ B、 $(- 1, 3)$ C、 $[- 2, 2]$ D、 $(- 1, 2)$

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12、在 ${(x - \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中，若第三项的系数为15，则 $n =$ .

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13、已知 $P (A) = \frac{6}{7}, P (A B) = \frac{2}{5}$ ，则 $P (B ∣ A) =$ （）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{7}{15}$ C、 $\frac{6}{7}$ D、 $\frac{12}{35}$

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14、已知复平面上的点 $Z$ 对应的复数 $z$ 满足 $|z^{2}| - |z^{2} - 9| = 7$ ，设点 $Z$ 的运动轨迹为 $W$ ．点 $O$ 对应的数是0．

(1)、证明 $W$ 是一个双曲线并求其离心率 $e$ ；

(2)、设 $W$ 的右焦点为 $F_{1}$ ，其长半轴长为 $L$ ，点 $Z$ 到直线 $x = \frac{L}{e}$ 的距离为 $d$ （点 $Z$ 在 $W$ 的右支上），证明： $|Z F_{1}| = e d$ ；

(3)、设 $W$ 的两条渐近线分别为 $l_{1} ， l_{2}$ ，过 $Z$ 分别作 $l_{1} ， l_{2}$ 的平行线 $l_{3} ， l_{4}$ 分别交 $l_{2} ， l_{1}$ 于点 $P ， Q$ ，则平行四边形 $O P Z Q$ 的面积是否是定值？若是，求该定值；若不是，说明理由．

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15、已知函数 $f (x) = 2 (m x - \ln x) + e - 2$

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $m > 0$ 时，若关于x的不等式 $f (x) > \frac{e^{m x}}{x}$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上有解，求m的取值范围；

(3)、证明： $\sum_{k = 2}^{n} \frac{1}{\ln k} > \frac{n - 1}{n} (n \geq 2, n \in N^{*})$ .
参考数据： $\ln 2 = 0.693$ .

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16、公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫（Demere）向另一位著名的数学家帕斯卡（B. Pascal）提出了一个问题，帕斯卡和费马（Fermat）讨论了这个问题，后来惠更斯（C. Huygens）也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答.该问题如下：设两名运动员约定谁先赢 $k (k > 1, k \in N^{*})$ 局，谁便赢得全部奖金 $a$ 元.每局甲赢的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，乙赢的概率为 $1 - p$ ，且每场比赛相互独立.在甲赢了 $m (m < k)$ 局，乙赢了 $n (n < k)$ 局时，比赛意外终止.奖金该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢 $k$ 局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比 $P_{甲} : P_{乙}$ 分配奖金.
（1）规定如果出现无人先赢 $k$ 局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比 $P_{甲} : P_{乙}$ 分配奖金.若 $k = 4$ ， $m = 2$ ， $n = 1$ ， $p = \frac{3}{4}$ ，求 $P_{甲} : P_{乙}$ .
（2）记事件 $A$ 为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当 $k = 4$ ， $m = 2$ ， $n = 1$ 时比赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率 $f (p)$ ，并判断当 $p \geq \frac{4}{5}$ 时，事件 $A$ 是否为小概率事件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件.

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17、在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C = 6$ ， D为边 $A B$ 上一点， $A D = 2$ ， E为 $A C$ 上一点， $D E // B C$ ，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 翻折，使A到 $A^{'}$ 处， $∠ D A^{'} B = 90 °$ .

(1)、证明： $A^{'} B ⊥$ 平面 $A^{'} D E$ ；

(2)、若射线 $D E$ 上存在点M，使 $\vec{D M} = λ \vec{D E}$ ，且 $M C$ 与平面 $A^{'} E C$ 所成角的正弦值为 $\frac{1}{5}$ ，求λ.

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18、在 $△ A B C$ 中，点D在 $B C$ 上， $A C = 2 A B = 6$ ， $∠ B A C = 120 °$ .

(1)、求 $\sin C$ 的值；

(2)、若 $B D = 2 D C$ ，求 $A D$ 的长.

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19、已知点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ ，定义 $d_{A B} = \sqrt{{(x_{1} - y_{2})}^{2} + {(x_{2} - y_{1})}^{2}}$ 为 $A, B$ 的“镜像距离”.若点 $A, B$ 在曲线 $y = ln (x - a) + 2$ 上，且 $d_{A B}$ 的最小值为2，则实数 $a$ 的值为.

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20、甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为 $5 : 4 : 6$ .这三个盒子中黑球占总数的比例分别为 $40 %, 25 %, 50 %$ .现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是白球的概率为；将三个盒子混合后任取一个球，是黑球的概率为.

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时间/min	0	1	2	3	4	5
水温/℃	100.00	92.00	84.80	78.37	72.53	67.27