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相关试卷

1、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $7 a_{1} + 2 S_{2} = 2 S_{3}$ ，则 $\frac{a_{8}}{a_{12}} =$ （）

A、 $\frac{7}{4}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{49}{4}$ D、 $\frac{4}{49}$

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2、如图，已知 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $C_{:} \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左､右焦点， $P, Q$ 为双曲线 $C$ 上两点，满足 $F_{1} P ∥ F_{2} Q$ ，且 $|F_{2} Q| = |F_{2} P| = 3 |F_{1} P|$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$

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3、已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，且 $f (x + 1)$ 为奇函数，若 $f (0) + f (3) = 3$ ，则（）

A、 $f (x - 1) = f (x + 1)$ B、 $f (2025) = 3$ C、函数 $f (x)$ 的周期为2 D、 $f (2024) = 3$

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4、在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：
（1）过点 $P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，且以 $\vec{u} = (a, b, c) (a b c \neq 0)$ 为方向向量的空间直线l的方程为 $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ ；
（2）过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，且 $\vec{v} = (m, n, t) (m n t \neq 0)$ 为法向量的平面 $α$ 的方程为 $m (x - x_{0}) + n (y - y_{0}) + t (z - z_{0}) = 0$ ．
现已知平面 $α : x + 2 y + 3 z = 6$ ， $l_{1} : \{\begin{array}{l} 6 x - 3 y = 2 \\ 3 y - 2 z = 1 \end{array}$ ， $l_{2} : x - 3 = y = 1 - z$ ， $l_{3} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z - 4}{- 2}$ ，则（）．

A、 $l_{1} ⊥ α$ B、 $l_{2} ∥ α$ C、 $l_{3} ∥ α$ D、 $l_{1} ∥ α$

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5、若 $\vec{a} = (- 1, 2, - 1)$ ， $\vec{b} = (1, 3, - 2)$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) =$ （）

A、 $- 8$ B、 $- 10$ C、8 D、10

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6、已知向量 $\vec{m} = (x, 1)$ ， $\vec{n} = (- 2, 4 + x)$ ，若 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- 2 + \sqrt{3}$ 或 $- 2 - \sqrt{3}$ B、 $- 4$ C、2 D、4

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7、已知角 $α$ 的终边经过点 $P (3, 4)$ ，则 $5 \sin α + 10 \cos α$ 的值为（）

A、11 B、10 C、12 D、13

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8、已知直线 $l : y = k x + 1$ 与抛物线 $Γ : x^{2} = 4 y$ 相交于 $A, B$ 两点.

(1)、求 $|A B|$ （用 $k$ 表示）；

(2)、过点 $A, B$ 分别作直线 $l$ 的垂线交抛物线 $Γ$ 于 $D, C$ 两点.
（i）求四边形 $A B C D$ 面积的最小值；
（ii）试判断直线 $l$ 与直线 $C D$ 的交点 $Q$ 是否在定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，请说明理由.

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9、平行四边形 $A B C D$ 中， $A D = \frac{1}{2} A B = 2, ∠ D A B = \frac{π}{3}$ ，点 $E$ 为 $A B$ 的中点，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $P D E$ 位置时， $P C = 4$ .

(1)、求证： $C E ⊥ P D$ ；

(2)、求平面 $P D E$ 与平面 $P D C$ 的夹角的余弦值.

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10、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2, E, F$ 是线段 $A_{1} C_{1}$ 上的两个动点，且 $E F = 1$ ， $G$ 是 $B C$ 的中点，则下列结论中正确的是（）

A、三棱锥 $B_{1} - E F G$ 的体积为定值 B、 $B_{1} D ⊥$ 平面 $E F G$ C、在线段 $A D$ 上存在一点 $Q$ ，使得 $D_{1} Q / /$ 平面 $E F G$ D、平面 $E F G$ 截正方体的外接球的截面面积为 $\frac{13}{9} π$

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11、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0, c^{2} = a^{2} - b^{2})$ 的右焦点为 $F$ ，过点 $F$ 作圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} + 2 c x = 0$ 的切线与椭圆 $C_{1}$ 相交于 $A, B$ 两点，且 $\vec{F B} = 2 \vec{A F}$ ，则椭圆 $C_{1}$ 的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{9}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{9}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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12、已知正数 $a, b$ 满足 $a + b = a b$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ B、 $a b \geq 8$ C、 $a + b \geq 4$ D、 $a^{2} + b^{2} \geq 8$

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13、函数 $f (x) = \frac{1}{x - 2} + ln (x - 1)$ 的定义域为（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(1, 2) \cup (2, + \infty)$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(0, 2) \cup (2, + \infty)$

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14、命题“ $\exists m > 0$ ， $m + 2 < 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall m \leq 0$ ， $m + 2 < 0$ B、 $\forall m \leq 0$ ， $m + 2 \geq 0$ C、 $\forall m > 0$ ， $m + 2 \geq 0$ D、 $\forall m > 0$ ， $m + 2 < 0$

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15、下列说法正确的是（）

A、直线 $x \sin α + y + 2 = 0$ 的倾斜角 $θ$ 的取值范围是 $[0, \frac{π}{4}] \cup [\frac{3 π}{4}, π)$ B、若 $A (- 2, 12), B (1, 3), C (4, m)$ 三点在一条直线上，则 $m = 2$ C、过点 $(1, 2)$ ，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线 $l$ 的方程为 $x - y + 1 = 0$ D、直线 $l$ 的方向向量为 $(- 1, \sqrt{3})$ ，则该直线的斜率为 $- \sqrt{3}$

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16、已知直线 $l_{1} : 2 x + y + n = 0$ ， $l_{2} : 4 x + m y - 4 = 0$ 互相平行，且 $l_{1}, l_{2}$ 之间的距离为 $\frac{3}{5} \sqrt{5}$ ，则 $m + n =$ （）

A、 $- 3$ 或3 B、 $- 2$ 或4 C、 $- 1$ 或5 D、 $- 2$ 或2

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17、中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其形状类似打横的阿拉伯数字8，对应着数学曲线中的双纽线.在 $x O y$ 平面上，把与定点 $F_{1} (- c, 0), F_{2} (c, 0)$ 距离之积等于 $c^{2} (c > 0)$ 的动点的轨迹称为双纽线， $P$ 是双纽线 $C$ 上的一个动点，则下列结论正确的是（）

A、双纽线 $C$ 上不存在点 $P$ ，使得 $|P F_{1}| = |P F_{2}|$ B、双纽线 $C$ 的图象关于 $x$ 轴对称，关于 $y$ 轴对称，也关于原点对称 C、若 $c = 4$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长可以为19 D、若 $c = 2 \sqrt{2}$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积的最大值为4

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18、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n} = 1 - \frac{1}{a_{n - 1}}$ （ $n \geq 2$ ， $n \in N_{+}$ ），则 $a_{2023} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $- 1$ D、2

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19、若抛物线 $y = \frac{1}{a} x^{2}$ 的准线方程是 $y = 1$ ，则实数 $a$ 的值是（）

A、 $- 4$ B、4 C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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20、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 3 x - 10 < 0\}$ ， $B = \{x |(x - m) [x - (2 m - 1)] \leq 0\}$ ， $C = \{x |\frac{1}{2^{x}} > 2\}$ ．

(1)、求 $A \cap C$ ， $A \cup (∁_{R} C)$ ；

(2)、若“ $x \in B$ ”是“ $x \in A$ ”的充分不必要条件，求 $m$ 的取值范围．

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