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相关试卷

1、已知随机变量 $X, Y$ 满足 $X \sim B (4, p)$ ，且 $P (X = 0) = \frac{16}{81}$ ，且 $X + 2 Y = 1$ ，则（）

A、 $E (X) = \frac{2}{3}$ B、 $E (Y) = - \frac{1}{6}$ C、 $D (X) = \frac{8}{9}$ D、 $D (Y) = \frac{2}{9}$

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}, a_{1} = \frac{1}{2}, a_{n} - \frac{S_{n}}{n^{2}} = a_{n - 1} - \frac{S_{n - 1}}{n^{2}} (n \geq 2, n \in N^{*})$ ，且关于n的不等式 $λ 2^{n} a_{n} < n (3 n - 1)$ 有3个解，则 $λ$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{21}{8}, \frac{55}{16})$ B、 $(\frac{119}{64}, \frac{21}{8}]$ C、 $[\frac{55}{16}, \frac{15}{4})$ D、 $(2, \frac{21}{8}]$

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3、2024年伊始，随着“广西砂糖桔”“马铃薯公主”等热梗的不断爆出，哈尔滨火爆出圈，成为旅游城市中的“顶流”．某班级六位同学也准备共赴一场冰雪之约，制定了“南方小土豆，勇闯哈尔滨”的出游计划，这六位同学准备在行程第一天在圣索菲亚教堂、冰雪大世界、中央大街三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，六位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数是（）

A、132 B、144 C、150 D、168

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4、已知函数 $f (x) = | \ln x |, x_{1} 、 x_{2}$ 为不相等的两个实数，则“ $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ”是“ $f^{'} (x_{1}) f^{'} (x_{2}) = - 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5、已知函数 $f (x) = x + \frac{4}{x} + 3 \ln x$ 在 $(a, 2 - 3 a)$ 内有最小值，则实数a的取值范围是（）

A、 $0 < a < \frac{1}{3}$ B、 $0 \leq a < \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3} < a < 1$ D、 $0 \leq a < \frac{1}{2}$

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6、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}, a_{1} + a_{2} + a_{3} = 6, a_{4} + a_{5} + a_{6} = 12$ ，则 $S_{12} =$ （）

A、18 B、36 C、54 D、60

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7、已知可导函数 $f (x)$ 满足 $f (2 x) = \sqrt{x}$ ，则 $f^{'} (2) =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、1

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8、已知事件 $A, B$ ，且 $P (A) = \frac{5}{6}$ ， $P (B) = \frac{2}{3}$ ， $P (A | B) = \frac{1}{2}$ ，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{5}$

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9、在 ${(2 x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中常数项是（）

A、1120 B、160 C、 $- 120$ D、 $- 160$

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10、已知函数 $f (x) = (4 x + a) ln (x + 1)$ ， $g (x) = x^{2} + b x$ .

(1)、当 $a = 4$ 时，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 在原点处的切线重合，且函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 有且仅有三个极值点，求实数 $a$ 的取值范围.

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11、已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (a - 1) x + 5, x \in (- \infty, 2) \\ a^{x}, x \in [2, + \infty) \end{array}$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上具有单调性，则实数 $a$ 的取值范围是．

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12、在 ${(3 x^{2} - \frac{1}{x})}^{n}$ 的二项展开式中，所有二项式系数之和为64，则展开式的项数是（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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13、已知圆的圆心为 $(1, - 2)$ ，且直线 $3 x - 4 y + 14 = 0$ 与圆相切，则圆的标准方程为（）

A、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 25$ B、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 5$ C、 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$ D、 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$

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14、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ ， $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = 60^{\circ}$ ，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{7}$

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15、若 $i^{2025} z = 1 + i$ ，则复数 $z$ 对应的点位于第（）象限

A、一 B、二 C、三 D、四

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16、已知集合 $A = {x \in N ∣ - 1 \leq x < 4}$ ， $B = \{x| y = \sqrt{x}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2, 3\}$ B、 $\{- 1, 1, 2, 3\}$ C、 $\{0, 1, 2, 3\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 2, 3\}$

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17、已知函数 $f (x) = (2 \log_{4} x - 2) (\log_{4} x + \frac{1}{2})$ .

(1)、当 $x \in [1, 16]$ 时，求该函数的值域；

(2)、求不等式 $f (x) > 2$ 的解集；

(3)、若 $f (x) < m \log_{4} x$ 于 $x \in [4, 16]$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围．

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18、已知函数 $f (x) = \log_{4} \frac{x - 2}{x + 2}$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并证明；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间．

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19、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 在双曲线 $C$ 上，且满足 $\vec{F_{1} F_{2}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ，倾斜角为锐角的渐近线与线段 $P F_{1}$ 交于点 $Q$ ，且 $\vec{F_{1} P} = 4 \vec{Q P}$ ，则 $\frac{| P F_{1} |}{| P F_{2} |}$ 的值为.

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20、已知 $S_{n}$ 是各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $a_{n + 1}^{2} - 2 a_{n + 1} a_{n} - 3 a_{n}^{2} = 0$ ， $S_{3} = 13$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为.

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