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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a \ln (x - 1) + \frac{1}{4} x^{2} + 1$ ， $g (x) = f (x) + \frac{1}{e^{x}} - {(\frac{1}{2} x - 1)}^{2}$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、若任意 $x_{1}, x_{2} \in (1, + \infty)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{g (x_{2}) - g (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} \geq 1$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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2、

(1)、求函数 $f (x) = \frac{\ln (x^{2} + 3 x - 18)}{\sqrt{x - 5}}$ 的定义域，以及 $y = f (2 x - 1)$ 的定义域；

(2)、已知函数 $f (x + 1) = x^{2} - 2 x$ ，求 $f (x)$ 的解析式；

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3、甲乙丙丁在内的6位同学站成一排，则甲乙不相邻，丙丁相邻的站位方式共有种.（用数字作答）

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4、已知函数 $f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} ， g (x) = \ln x - b x$ ，若对任意 $x_{1} \in$ （0，2]，存在 $x_{2} \in$ [1，2]，使 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ ，则实数b的取值范围是（）

A、 $[\frac{\sqrt{e}}{e} ， + \infty)$ B、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $[- 2 ， + \infty)$ D、 $[\frac{1}{2} \ln 2 - 1 ， + \infty)$

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5、已知 $a > 0$ ，对任意 $x_{1}, x_{2} \in (a, + \infty)$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ 时，不等式 $x_{1} \cdot ln x_{2} - x_{2} \cdot ln x_{1} < 4 \cdot (x_{1} - x_{2})$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[1, + \infty)$ B、 $[e, + \infty)$ C、 $[e^{4}, + \infty)$ D、 $[e^{5}, + \infty)$

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6、已知 $A = \{x |- 1 \leq x \leq 2\}$ ， $B = \{x |2 x - a < 0\}$ ，若 $x \in B$ 是 $x \in A$ 的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）

A、 $\{a |a > 4\}$ B、 $\{a |a \geq 4\}$ C、 $\{a |a > 2\}$ D、 $\{a |a \geq 2\}$

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7、已知集合 $A = \{x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0\}$ ， $B = \{1,2,4,6,8\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{1, 2, 4\}$ C、 $\{1, 2, 4, 6\}$ D、 $\{1, 2, 4, 8\}$

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8、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x (a \in R)$

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调性和极值.

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个正零点 $x_{1}, x_{2}$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ，
（ⅰ）求证： $x_{1} + x_{2} > 2$ ；
（ⅱ）当 $x > 0$ 时，不等式 $(2 e^{2 x} - b e^{x} + c) \cdot f (x) \geq 0$ 恒成立，求证： $b > 4 a$ .

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9、某工厂建造一个无盖贮水池，其容积为 ${300m}^{3}$ ，深度为 $3m$ .池底每平方米的造价为 $100$ 元，池壁每平方米的造价为 $50$ 元，设计水池的最低总造价约为（）

A、 $12000$ 元 B、 $15000$ 元 C、 $16000$ 元 D、 $24000$ 元

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10、已知函数 $f (x) = 3 {log}_{2} x - 2 (x - 1)$ ，则不等式 $f (x) < 0$ 的解集是（）

A、 $(1, 4)$ B、 $(- \infty, 1) \cup (4, + \infty)$ C、 $(0, 1) \cup (4, + \infty)$ D、 $(0, 4)$

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11、已知点 $A (2, 3), B (- 1, 7)$ ，则与向量 $\vec{A B}$ 方向相反的单位向量为（）

A、 $(- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ B、 $(\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$ C、 $(- \frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ D、 $(\frac{4}{5}, - \frac{3}{5})$

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12、已知函数 $f (x) = sin x - x cos x + a x, x \in (0, π)$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(\frac{π}{2}, 1)$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) > 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $a = - 1$ ，判断 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上的零点个数并说明理由．

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13、已知函数 $f (x) = ln x - 2 k x$ ， $x \in (0,e]$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数．

(1)、若 $x = 1$ 为 $f (x)$ 的极值点，求 $f (x)$ 的单调区间和最大值；

(2)、若函数 $f (x)$ 的最大值为 $- 3$ ，求实数 $k$ 的值．

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14、现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？

(1)、4名男学生互不相邻；

(2)、2名老师之间恰有1名男学生和1名女学生．

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15、 $f (x) = \frac{a}{e^{x}} + \ln x + b (a \in R, b \in R)$ 的两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ 满足 $x_{1} < x_{2} \leq 2 x_{1}$ ，则 $2 x_{1} + x_{2}$ 的最小值为.

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16、将甲乙丙丁戊五个同学分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，共有种不同分配方法．

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17、已知直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{a} = (1, - 1, λ)$ ，平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (- 2, 2, 1)$ ，若 $l ⊥ α$ ，则 $λ$ 的值为．

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18、在 $(1 + x)^{2 n} + x (1 + x)^{2 n - 1} + \dots + x^{n} (1 + x)^{n}$ 的展开式中， $x^{n}$ 的系数为（）.

A、 $\frac{(2 n + 1)!}{n! n!}$ B、 $\frac{(2 n + 2)!}{n! n!}$ C、 $\frac{(2 n + 1)!}{n! (n + 1)!}$ D、 $\frac{(2 n + 2)!}{n! (n + 1)!}$

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19、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (0) = 2$ ，若对任意 $x \in R$ ，都有 $f (x) > 1 - f^{'} (x)$ ，则不等式 $f (x) < 1 + e^{- x}$ 的解集为（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(- \infty, 0)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(- 1, 0)$

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20、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中 $∠ B A D = 90 °$ ， $A B = A D = A A_{1} = 1$ ， $∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = 60 °$ ．取棱 $B_{1} C_{1}$ 的中点M，则 $|\vec{A M}| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$

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