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相关试卷

1、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (3, 3), B (5, 1), P (2, 1)$ ，点 $M$ 是直线 $O P$ 上的一个动点．

(1)、求 $|\vec{P A} - \vec{P B}|$ 的值；

(2)、若四边形 $A P B Q$ 是平行四边形，求点 $Q$ 的坐标；

(3)、求 $\vec{M A} \cdot \vec{M B}$ 的最小值．

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2、已知 $sin α = \frac{3}{5}$ ， $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ．

(1)、求 $sin (α + \frac{π}{4})$ 的值；

(2)、求 $tan 2 α$ 的值；

(3)、求 $cos (\frac{α}{2} - \frac{2 π}{3})$ 的值．

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3、已知 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 3$ ．

(1)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角；

(2)、若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (k \vec{a} - \vec{b})$ ，求实数 $k$ 的值；

(3)、求 $|\vec{a} - λ \vec{b}|$ 的最小值．

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4、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} sin x cos x + 2 {sin}^{2} x - 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及对称轴；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 的最值．

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5、正弦波是频率成分非常单一的信号，其波形是数学上的正弦曲线，任何复杂信号，如光谱信号，声音信号等，都可由多个不同的正弦波复合而成，现已知某复合信号 $I (x)$ 由三个振幅，频率相同的正弦波 $f (x)$ ， $g (x)$ ， $h (x)$ 叠加而成，即 $I (x) = f (x) + g (x) + h (x)$ ，设 $f (x) = A sin (ω x + φ)$ ， $g (x) = A sin (ω x + α)$ ， $h (x) = A sin (ω x + β) (A > 0, ω > 0,0 < φ < \frac{π}{2}, α, β \in (0, π))$ ，若图中所示为 $f (x)$ 的部分图象，则下列所有正确序号的是．
① $(A + ω) \cdot φ = \frac{2 π}{3}$
② $I (x)$ 的最小正周期是 $π$
③若 $α = \frac{π}{3}$ ， $β = \frac{π}{4}$ ，则 $I (x) = (1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}) sin (2 x + \frac{π}{4})$
④不存在 $α, β, φ$ ，使得 $I (x)$ 恒为0

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6、已知函数 $f (x) = {cos}^{2} (x + φ)$ ，其中 $0 < φ < π$ ，
（1）函数 $f (x)$ 的最小正周期是．
（2）若 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ 上单调递增，则 $φ$ 的一个取值可以为．

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7、向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 在正方形网格中的位置如图所示．若向量 $λ \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 共线，则实数 $λ =$ ．

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8、向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 1$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ ．

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9、计算 $4 sin \frac{π}{8} cos \frac{π}{8}$ 的值是．

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10、人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术，在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ ，则曼哈顿距离 $d (A, B) = |x_{1} - x_{2}| + |y_{1} - y_{2}|$ ，余弦距离 $e (A, B) = 1 - \cos 〈 \vec{O A}, \vec{O B} 〉$ （ $O$ 为坐标原点）.已知 $M (2, 1), d (M, N) = 1$ ，则 $e (M, N)$ 的最大近似值为（）（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41, \sqrt{5} \approx 2.24$ ）

A、0.052 B、0.104 C、0.896 D、0.948

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11、设 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 为平面向量，则“存在实数 $λ$ ，使得 $\vec{a} = λ \vec{b}$ ”是“ $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 是夹角为 $120 °$ 的两个非零向量，且 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ，若向量 $λ \vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $\vec{a}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $- 2$ D、2

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13、要得到函数 $y = \sqrt{2} sin 3 x$ 的图象，只需将函数 $y = sin 3 x - cos 3 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度

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14、已知在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} < 0$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰直角三角形

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15、若 $\vec{a} = (1, x)$ ， $\vec{b} = (- 1, 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x$ 的值为（）

A、1 B、 $- 1$ C、 $- 1$ 或0 D、 $- 1$ 或1

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16、计算 $cos 63 ° cos 18 ° + sin 63 ° sin 18 °$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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17、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a \ln x + (1 - a) x$ .
（1）讨论函数 $f (x)$ 的单调性；
（2）若 $f (x) > \frac{a^{2}}{2}$ 恒成立，求正实数 $a$ 的取值范围.

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为 $a_{1} = 1$ ，且满足 $a_{n + 1} + a_{n} = 3 \cdot 2^{n}$ .

(1)、求证： $\{a_{n} - 2^{n}\}$ 是等比数列.

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19、函数 $y = x^{2} - \ln x$ 上的点到直线 $y = x - 2$ 的最短距离是．

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20、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = e^{x} + x^{2} - x + \sin x$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程是．

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