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相关试卷

1、已知点 $P$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 上一点，椭圆的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，且 $\cos ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{1}{3}$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、6 B、12 C、 $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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2、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{4} + a_{9} = 8$ ，则 $S_{12} =$ （）

A、24 B、36 C、48 D、96

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3、已知空间向量 $\vec{a} = (1, 0, 1), \vec{b} = (2, - 1, 2)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标

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4、若 $\cos α = - \frac{4}{5}$ ， $α$ 是第三象限的角，则 $\sin (α + \frac{π}{4}) =$

A、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ B、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$

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5、已知函数 $f (x) = (2 m^{2} + m) x^{m}$ 为幂函数，且在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增，令 $g (x) = a f^{2} (x) - (3 a + 1) \cdot f (x) + 3$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $a = 1$ 时，求函数 $g (x)$ 在区间 $[1, 4]$ 上的值域；

(3)、若 $g (x) \geq 0$ 对任意 $x \in [1, 4]$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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6、已知关于x的不等式 $a x^{2} + b x + c \geq 0$ 的解集为 ${x | - 2 \leq x \leq 3}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $a < 0$ B、 $a b > 0$ C、 $a + b + c > 0$ D、不等式 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集为 ${x | x < - \frac{1}{3}$ 或 $x > \frac{1}{2}}$

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7、若 ${\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}$ 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）

A、 $\vec{b} + \vec{c}, \vec{b}, \vec{b} - \vec{c}$ B、 $\vec{a}, \vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{b}$ C、 $\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{b}, \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}, \vec{c}$

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8、已知函数 $f (x) = a x^{2} - 5 x + a$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 有两个零点，求实数a的取值范围；

(2)、若函数 $f (x)$ 的一个零点在 $(0, 1)$ 内，另一个零点在 $(2, 3)$ 内，求实数a的取值范围．

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9、下列各式中一定成立的有（）

A、 ${(\frac{n}{m})}^{7} = n^{7} m^{\frac{1}{7}}$ B、 $\sqrt[12]{{(- 3)}^{4}} = \sqrt[3]{3}$ C、 $\sqrt[4]{x^{3} + y^{3}} = {(x + y)}^{\frac{3}{4}}$ D、 $\sqrt{\sqrt[3]{9}} = \sqrt[3]{3}$

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10、在四棱锥 $Q - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，若 $A D = 2, Q D = Q A = \sqrt{5}, Q C = 3$ ．
（1）证明：平面 $Q A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；
（2）求二面角 $B - Q D - A$ 的平面角的余弦值．

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11、已知 $\overset{⃑}{a}$ =(cos α，sin α)， $\overset{⃑}{b}$ =(cos β，sin β)，且 $| k \vec{a} + \overset{⃑}{b} | = \sqrt{3} | \vec{a} - k \vec{b} | (k > 0)$ .
(1)用k表示数量积 $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b}$ ；
(2)求 $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b}$ 的最小值，并求此时 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}$ 的夹角θ.

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12、如图，某地计划在一海滩处建造一个养殖场，射线 $O A, O B$ 为海岸线， $∠ A O B = \frac{2 π}{3}$ ，现用长度为1千米的网依托海岸线围成一个 $△ P O Q$ 的养殖场

(1)、已知 $∠ P Q O = \frac{π}{4}$ ，求 $O P$ 的长度

(2)、问如何选取点 $P, Q$ ，才能使得养殖场 $△ P O Q$ 的面积最大，并求其最大面积

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13、已知边长为2，各面均为等边三角形的四面体 $S - A B C$ 如图所示，求它的表面积.

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14、已知在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ， $c ＝ 10 ， A ＝ 45 ° ， C ＝ 30 °$ ，求 $a ， b$ 和 $B$ .

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15、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $30 °$ ， $|\vec{a}| = \sqrt{3}$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，求：

(1)、 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、 $|\vec{a} + \vec{b}|$ .

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16、计算：

(1)、 $(2 + 3 i) (2 - 3 i)$ ；

(2)、 $\frac{1 + 2 i}{3 - 4 i}$ .

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17、在 $△ A B C$ 中，已知 $a = 2$ ， $b = \sqrt{3}$ ， $C = 30^{\circ}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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18、已知 $\vec{a} = (2, - 1)$ ， $\vec{b} = (1, x)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ .

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19、直径为2的球的体积是.

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20、 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $2 a sin B = \sqrt{2} b$ ，则 $A$ 的可能取值为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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