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相关试卷

1、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是平行四边形， $△ P A B$ 是边长为2的正三角形，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D, ∠ A B C = \frac{π}{3}, B C = 4, E$ 为棱 $P D$ 的中点．

(1)、证明： $A C ⊥$ 平面 $P A B$ ．

(2)、求直线 $B E$ 与平面 $P A C$ 所成角的正弦值．

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2、已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，且 $a_{7} = - 3$ ， $S_{9} = 3 a_{4}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = |a_{n}|$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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3、已知 $f (x) = x^{2} \ln x$ 当 $0 < x_{1} < x_{2} < e$ 时， $m (x_{1}^{2} - x_{2}^{2}) < f (x_{1}) - f (x_{2})$ 恒成立，则m的取值范围是

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4、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = 2^{n + 1} + m$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} + \frac{b_{2}}{2} + \frac{b_{3}}{3} + \dots + \frac{b_{n}}{n} = n$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $m = - 1$ B、设 $f (n) = \frac{{a_{n}}^{2} + 36}{a_{n}}$ ， $n \in N^{*}$ ，则 $f (n)$ 的最小值为12． C、若 $t a_{n} - b_{n} + 2 > 0$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 恒成立，则 $t > \frac{1}{8}$ D、设 $c_{n} = \frac{a_{n} (1 - b_{n})}{b_{n} b_{n + 1}}$ 若数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，则 $T_{n} < 2$

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5、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，正项等比数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，则（）

A、数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是等差数列 B、数列 $\{2^{a_{n}}\}$ 是等比数列 C、数列 ${l n T_{n}}$ 是等差数列 D、数列 ${\frac{T_{n + 2}}{T_{n}}}$ 是等比数列

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6、数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想： $F_{n} = 2^{2^{n}} + 1 (n = 0, 1, 2, \cdot \cdot \cdot)$ 是质数．直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出 $F_{5} = 641 \times 6700417$ ，不是质数．现设 $a_{n} = \log_{2} (F_{n} - 1)$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则使不等式 $\frac{2^{2}}{S_{1} S_{2}} + \frac{2^{3}}{S_{2} S_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{2^{n + 1}}{S_{n} S_{n + 1}} < \frac{2024}{4049}$ 成立的正整数 $n$ 的最大值为（）

A、11 B、10 C、9 D、8

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7、数列 $\{a_{n}\}$ 通项公式为 $a_{n} = 3 n - 27$ ，则其前 $n$ 项和 $S_{n}$ 的最小值为（）

A、 $- 105$ B、 $- 108$ C、 $- 115$ D、 $- 118$

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8、已知函数 $f (x)$ 在定义域内可导， $f (x)$ 的图象如下，则其导函数 $f^{'} (x)$ 的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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9、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .若 $a_{15} + a_{2010} = 1$ ，则 $S_{2024} =$ （）

A、1012 B、1013 C、2024 D、2025

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10、若 $f^{'} (x_{0}) = - 2$ ，则 $\lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0} - 2 h)}{h} =$ （）

A、 $- 12$ B、 $- 9$ C、 $- 6$ D、 $- 3$

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11、已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{a}{2} x^{2} - (a + 1) x, a \in R$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、设 $x_{1}, x_{2} (0 < x_{1} < x_{2})$ 是函数 $g (x) = f (x) + x$ 的两个极值点，
（i）求a的取值范围
（ii）证明： $g (x_{1}) - g (x_{2}) < \frac{a}{2} - \ln a$ 恒成立.

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12、2022年1月26日，岳阳市主城区全新投放一批共享电动自行车.本次投放的电动自行车分红､绿两种，投放比例是2：3.监管部门为了了解这两种颜色电动自行车的性能，决定从中随机抽取5辆电动自行车进行骑行体验，假设每辆电动自行车被抽取的可能性相等.

(1)、求抽取的5辆电动自行车中恰有3辆是绿色的概率；（用数字作答）

(2)、在骑行体验中，发现红色电动自行车的综合评分较高，监管部门决定从该次投放的这批电动自行车中随机地抽取一辆绿色电动自行车，送技术部门做进一步性能检测，并规定若抽到的是绿色电动自行车，则抽样结束；若抽取的是红色电动自行车，则将其放回后，继续从中随机地抽取下一辆电动自行车规定抽样的次数最多不超过 $n (n \in N_{+})$ 次在抽样结束时，已抽到的红色电动自行车的数量用 $ξ$ 表示，求 $ξ$ 的分布列与数学期望.

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13、某企业使用新技术对某款芯片进行试生产，该厂家生产了两批同种规格的芯片，第一批占 $60 %$ ，次品率为 $6 %$ ；第二批占 $40 %$ ，次品率为 $5 %$ ．为确保质量，现在将两批芯片混合，工作人员从中抽样检查．

(1)、从混合的芯片中任取1个，求这个芯片是合格品的概率；

(2)、若在两批产品混合前采取分层抽样方法抽取一个样本容量为10的样本，再从样本中抽取3个芯片，求这3个芯片含第二批芯片数 $X$ 的分布列和数学期望．

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14、已知公差为正的等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} \cdot a_{4} = 40$ ， $a_{1} + a_{5} = 14$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $\{b_{n} + a_{n}\}$ 是等比数列，且 $b_{1} = 0, b_{2} = - 2$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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15、设函数 $f (x) = (2 x + 1) e^{- x} - a x - a$ ，若存在唯一的整数 $x_{0}$ 使得 $f (x_{0}) > 0$ ，则实数a的取值范围是.

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16、世界排球比赛一般实行“五局三胜制”，在2019年第13届世界女排俱乐部锦标赛(俗称世俱杯)中，中国女排和某国女排相遇，根据历年数据统计可知，在中国女排和该国女排的比赛中，每场比赛中国女排获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，该国女排获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，现中国女排在先胜一局的情况下获胜的概率为.

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17、已知随机变量X服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，且 $P (X > 20) = 0.5$ ， $P (X > 30) = 0.24$ ，则 $P (10 \leq X \leq 30) =$ ．

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18、已知函数 $f (x) = x^{2} - \sin x$ 在 $x = x_{0}$ 处取得极值，则（）

A、 $x_{0} < \frac{1}{2}$ B、 $x_{0} > \frac{1}{3}$ C、 $x_{0} - \frac{1}{4} < \sin x_{0}$ D、 $\tan \frac{x_{0}}{2} > \frac{\sqrt{5}}{5}$

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19、现有4名男生和3名女生并坐一排，下列说法正确的是（）

A、男生必须排在一起的坐法有576种 B、女生互不相邻的坐法有1440种 C、男女生相间的坐法有72种 D、男生相邻、女生也相邻的坐法有288种

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20、数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} + 3 a_{2} + \dots + 3^{n - 1} a_{n} = n \cdot 3^{n}$ ，若对任意 $n \in N^{*}$ ， $S_{n} \geq {(- 1)}^{n} n λ$ 恒成立，则实数 $λ$ 的取值范围为（）

A、 $[- 3, 4]$ B、 $[- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}]$ C、 $[- 5, 5]$ D、 $[- 2 \sqrt{2} - 2, 2 \sqrt{2} + 2]$

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