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相关试卷

1、函数 $f (x) = \log_{0.3} (2 x - x^{2})$ 的单调递增区间是.

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2、对于任意两个正数 $u, v (u < v)$ ，记曲线 $y = \frac{1}{x}$ 与直线 $x = u$ ， $x = v$ ， $x$ 轴围成的曲边梯形的面积为 $L (u, v)$ ，并约定 $L (u, u) = 0$ 和 $L (u, v) = - L (v, u)$ ，德国数学家莱布尼茨（Leibniz）最早发现 $L (1, x) = ln x$ .关于 $L (u, v)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $L (\frac{1}{10}, \frac{1}{5}) = L (\frac{9}{2}, 9)$ B、 $L (4^{40}, 3^{80}) = 80 L (2, 3)$ C、 $2 L (u, v) > \frac{v}{u} - \frac{u}{v}$ D、 $L (u^{u}, v^{u}) > v - u$

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3、如图是函数 $y = f (x), x \in [- 4, 3]$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $[- 4, - 1] \cup$ $[1, 3]$ 上单调递减 B、 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 3)$ 上的最大值为3，最小值为 $- 2$ D、 $f (x)$ 在 $[- 1, 3]$ 上有最大值3，有最小值 $- 2$

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4、定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列 $1, 2, 3$ 经过第一次“和扩充”后得到数列 $1, 3, 2, 5, 3$ ；第二次“和扩充”后得到数列 $1, 4, 3, 5, 2, 7, 5, 8, 3$ ．设数列 $a, b, c$ 经过 $n$ 次“和扩充”后得到的数列的项数为 $P_{n}$ ，所有项的和为 $S_{n}$ ．

(1)、若 $a = 2, b = 3, c = 4$ ，求 $P_{2}, S_{2}$ ；

(2)、求不等式 $P_{n} \geq 2024$ 的解集；

(3)、是否存在数列 $a, b, c (a, b, c \in R)$ ，使得数列 $\{S_{n}\}$ 为等比数列？请说明理由．

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5、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的焦距为8，右焦点为 $F$ ，直线 $l : y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 与双曲线在一､三象限的交点分别为 $P, Q$ ，且 $F P ⊥ F Q$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程及 $△ P Q F$ 的面积；

(2)、直线 $y = k x + n (k \neq 0)$ 与双曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，若直线 $P A ､ P B$ 与 $x$ 轴分别交于点 $A_{1}, B_{1}$ ，且 $|P A_{1}| = |P B_{1}|$ ．证明： $k$ 为定值．

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6、为增加学生对于篮球运动的兴趣，学校举办趣味投篮比赛，第一轮比赛的规则为：选手需要在距离罚球线1米，2米，3米的 $A, B, C$ 三个位置分别投篮一次．在三个位置均投进得10分；在 $C$ 处投进，且在 $A, B$ 两处至少有一处未投进得7分；其余情况（包括 $A ､ B ､ C$ 三处均不投进）保底得4分．已知小王在 $A, B, C$ 三处的投篮命中率分别为 $\frac{4}{5}, \frac{3}{4}, \frac{1}{2}$ ，且在三处的投篮相互独立．

(1)、设 $ξ$ 为小王同学在第一轮比赛的得分，求 $ξ$ 的分布列和期望；

(2)、若第二轮比赛中设置两种参赛方法．方法1：按第一轮比赛规则进行比赛；方法2：选手可以选择在 $C$ 处缩短投篮距离0.5米，但得分会减少 $a (1 \leq a \leq 3)$ 分．选手可以任选一种规则参加比赛．若小王在 $C$ 处缩短投篮距离0.5米后，投篮命中率会增加 $b (0 < b < \frac{1}{2})$ ．请你根据统计知识，帮助小王同学选择采用哪种方法参加比赛更好．

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7、在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A_{1} A C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C, A C = B C = A A_{1} = 4$ ， $∠ A C B = \frac{π}{2}$ ，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 为菱形，且 $∠ A_{1} A C = \frac{π}{3}, D$ 为 $C C_{1}$ 中点．

(1)、证明： $A_{1} D ⊥$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$ ；

(2)、求二面角 $D - A_{1} B - C$ 的余弦值．

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8、已知函数 $f (x) = e^{x} - a ln (x + 1)$ 的图象在点 $(0, f (0))$ 处的切线过点 $(2, 1)$ ．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间和极值．

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9、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，直线 $l : x - m y + 1 = 0$ 交抛物线于 $M, N$ 两点， $A$ 为抛物线 $C$ 的准线与 $x$ 轴的交点，直线 $N F, M F$ 分别交抛物线于 $P, Q$ 两点（点 $P, Q$ 异于点 $M$ ， $N$ ）， $O$ 为坐标原点，则实数 $m$ 的取值范围为； $\frac{|A M| \cdot |A Q|}{|A P| \cdot |A N|} =$ ．

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10、已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，若 $\exists β \in (0, 2 π)$ ，使 $sin (α + β) + cos (α + β) - \sqrt{2} = {(α - \sqrt{2})}^{2}$ 成立，则 $β =$ ．

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11、春节期间，小明一家3口､姑姑一家3口和爷爷，奶奶围坐圆桌聚餐，则在爷爷､奶奶相邻的前提下，小明一家3口均不相邻的概率为．

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12、如图所示，四面体 $S - A B C$ 的各棱长均为 $4, E, F$ 分别为棱 $A B, B C$ 的中点， $M$ 为棱 $S C$ 上异于顶点的点，则以下结论正确的为（）

A、 $E F ⊥ S B$ B、直线 $S E$ 与 $B C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、四面体 $S - A B C$ 的外接球体积为 $8 \sqrt{3} π$ D、平面 $E F M$ 截四面体所得的截面图形的周长最小值为8

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13、下列命题为真命题的是（）

A、若 $n \in N^{*}$ ，则 $C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{2} + C_{2 n}^{4} + \dots + C_{2 n}^{2 n} = 2^{n - 1}$ B、若 $p : \forall x > 0, ln (2^{x}) > 0$ ，则 $\neg p : \exists x > 0, ln (2^{x}) \leq 0$ C、若 ${(m x^{2} - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中的常数项为60，则 $m^{2} = 4$ D、若随机变量 $ξ$ 的方差 $D (ξ) = 2$ ，则 $D (2 ξ - 1) = 4$

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14、已知 $a > b > c$ ，若 $\frac{1}{a - b} + \frac{1}{b - c} = \frac{m}{a - c}$ 成立，则实数 $m$ 的最小值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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15、设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $q \neq 0, a_{1} \neq 0$ ，则“ $(1 - q) S_{n} = a_{1} (1 - q^{n})$ ”是“数列 $\{a_{n}\}$ 是以 $q$ 为公比的等比数列”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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16、已知非空集合 $A = {x| |x| < a}, B = \{x |\frac{1}{\sqrt{x}} > 1\}$ ，若 $B \subseteq A$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(0, 1]$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $[1, + \infty)$

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17、已知定义在 $R$ 上的函数 $y = f (x)$ 满足 $f (\frac{1}{2} - 3 x)$ 为偶函数， $f (2 x + 1)$ 为奇函数，当 $x \in [0, \frac{1}{2}]$ 时， $f^{'} (x) > 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (0) = 0$ B、函数 $y = f (x)$ 为周期函数 C、函数 $y = f (x)$ 为 $R$ 上的偶函数 D、 $f (\frac{4}{3}) > f (\frac{1}{3})$

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18、若复数 $z = \frac{1 - i}{1 + i}$ ，则 $|1 + z| =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、5 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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19、某学校对高三（1）班50名学生第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得到数据如下：数学成绩的方差为 $s_{1}^{2} = 10$ ，化学成绩的方差为 $s_{2}^{2} = 8, \sum_{i = 1}^{50} x_{i}^{2} = 500500$ ，其中 $x_{i}, y_{i} (i \in N$ 且1 $\leq i \leq 50)$ 分别表示这50名学生的数学成绩和化学成绩， $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程为 $y = 0.4 x + t$ .

(1)、求 $y$ 与 $x$ 的样本相关系数 $r$ ；

(2)、从概率统计规律来看，本次考试高三（1）班学生数学成绩 $η$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，用样本平均数 $\bar{x}$ 作为 $μ$ 的估计值，用样本方差 $s_{1}^{2}$ 作为 $σ^{2}$ 的估计值.试估计该校共800名高三学生中，数学成绩位于区间 $(96.84, 106.32)$ 的人数.
附：①回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ 中： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$
②样本相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$
③若 $η \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq η \leq μ + σ) \approx 0.68, P (μ - 2 σ \leq η \leq μ + 2 σ) \approx 0.95$
④ $\sqrt{10} \approx 3.16$

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20、欧拉公式 $e^{i θ} = cos θ + isin θ$ 是由瑞士著名数学家欧拉创立，将其中的 $θ$ 取 $π$ 就得到了欧拉恒等式，数学家评价它是“上帝创造的公式”.已知复数 $z$ 满足 $|z| = \frac{1}{2}$ ，则 $|z - e^{iπ}|$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{3}{2}$

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