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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \sin^{2} x - \cos^{2} x - \sqrt{3} \sin (2 x - \frac{π}{3})$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；

(2)、若 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $\tan x$ 的值．

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2、在平面直角坐标系中，已知向量 $\vec{A B} = (1, 2)$ ， $\vec{B C} = (x - 1, y)$ ， $\vec{C D} = (2 x, - 2 y)$ ，且 $\vec{B C}$ ， $\vec{C D}$ 为非零向量．

(1)、若B是AD的中点，求 $\vec{B C}$ 的坐标；

(2)、若 $\vec{A B} / / \vec{C D}$ ， $\vec{A C} ⊥ \vec{B D}$ ，求四边形ABCD的面积．

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3、已知 $△ A B C$ 中 $A B = 2$ ，点 $D$ 满足 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，且 $\vec{A D} = \frac{{\vec{A B}}^{2} \cdot \vec{A C} + {\vec{A C}}^{2} \cdot \vec{A B}}{{\vec{A B}}^{2} + {\vec{A C}}^{2}}$ ，点 $O$ 是 $△ A B C$ 的外心，则 $\vec{A O} \cdot \vec{B C} =$ ．

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4、已知复数z满足 $| z | \leq 2$ ，且 $\frac{| z - 1 |}{| z - i |} = 1$ ，则复数z表示的轨迹长为．

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5、已知 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\sin^{2} B + \sin^{2} A = \sin^{2} C + \frac{3}{2} \sin B \sin A$ ，则 $\sin C =$ ．

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6、定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = f (x - 3)$ ， $x \in [- 2, 0]$ 时 $f (x) = x^{2}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是周期为4的函数 B、 $f (x)$ 相邻两条对称轴间的距离为4 C、 $x \in [4, 6]$ 时， $f (x) = 3$ 的解是 $4 + \sqrt{3}$ D、若 $y = f (x) - 1, x \in [m, n]$ （ $n > m$ ）有2024个零点，则 $n - m$ 的最小值是4047

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7、已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\sqrt{3} |\vec{a}| = \sqrt{3} |\vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则（）

A、 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ B、 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}|$ C、若 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ，则 $△ O A B$ 的外接圆半径长为 $|\vec{a}|$ D、若 $|\vec{a}| = 1$ ，向量 $\vec{c}$ 满足 $(\vec{c} - \vec{a}) \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = 0$ ，则 $|\vec{c}|$ 的最大值是 $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}$

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8、若函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 0)$ 对称， $f (x)$ 在定义域 $R$ 上单调递增，则不等式 $f (\sin x + 3) + f (\sqrt{3} \cos x) > 0$ 的解是（）

A、 $(\frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2})$ B、 $(2 k π - \frac{π}{3}, 2 k π + \frac{5 π}{6})$ ， $k \in Z$ C、 $(2 k π - \frac{π}{2}, 2 k π + \frac{5 π}{6})$ ， $k \in Z$ D、 $(k π - \frac{π}{3}, k π + \frac{2 π}{3})$ ， $k \in Z$

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9、水是生命之源，我国是一个严重缺水的国家，保护水资源是每个公民的义务．在日常生活中淡水需过滤后才能作为饮用水供人们生活使用，假设某工厂在淡水的过滤过程中的各种有害物质的残留数量Y（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的关系满足 $Y = Y_{0} e^{- λ t} (t \geq 0)$ ，其中 $λ$ 为正常数， $Y_{0}$ 为原有害物质数量．该工厂某次过滤淡水时，若前4个小时淡水中的有害物质恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤4小时，淡水中有害物质的残留量约为原有害物质的（）

A、5% B、3% C、2% D、1%

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10、 $△ A B C$ 的重心为O，过点O的直线与AB，BC所在直线交于点E，F，若 $\vec{B E} = - x \vec{A B}$ ， $\vec{B F} = y \vec{B C}$ （ $x, y > 0$ ），则xy的最小值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、4

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11、在正方形ABCD中，P是BC的中点，AP与BD交于点Q，则 $\vec{A Q}$ 在 $\vec{A B}$ 上的投影向量是（）

A、 $\vec{A B}$ B、 $- \vec{A B}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{A B}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{A B}$

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12、已知函数 $f (x) = \ln \frac{e x + e}{x - 1} + m \sin x$ （e为自然对数的底数），且 $f (2) = 2024$ ，则 $f (- 2) =$ （）

A、2024 B、 $- 2024$ C、2022 D、 $- 2022$

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13、已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是不共线的单位向量， $\vec{a} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ ，若 $|\vec{a}| = \sqrt{7}$ ，则 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 的夹角为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $45^{\circ}$ C、60° D、120°

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14、已知复数z满足 $(1 - i) z = 3 + i$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - 2 i$ B、 $1 + 2 i$ C、 $2 - 2 i$ D、 $2 + 2 i$

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15、已知双曲函数 $f (x) = \frac{2^{x} + 2^{- x}}{2}$ ， $g (x) = \frac{2^{x} - 2^{- x}}{2}$ .

(1)、证明： $f^{2} (x) - g^{2} (x) = 1$

(2)、判断函数 $g (x)$ 的单调性（不用证明），并解关于x的不等式 $g (9^{x} + 30) \leq g (3 + 12 \cdot 3^{x})$ .

(3)、若 $\forall x \geq 1$ ，不等式 $a \cdot g (x) \geq f (x) + \frac{1}{2}$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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16、已知函数 $y = g (2 x + 1) - 2$ 是 $R$ 上奇函数，若数列 $\{a_{n}\}$ 的项满足： $a_{n} = g (\frac{1}{n + 1}) + g (\frac{2}{n + 1}) + g (\frac{3}{n + 1}) + \dots + g (\frac{2 n + 1}{n + 1})$ （ $n \in N^{*}$ ）.则数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为： $a_{n} =$ .

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17、已知 $f (x) = x^{2} - 2 x + a \ln x$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处取得极值，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $g (x) = f (x) - a x$ ，求函数 $g (x)$ 的单调递增区间；

(3)、若 $a = 2$ ，存在正实数 $x_{1}, x_{2}$ ，使得 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = x_{1} + x_{2}$ 成立，求 $x_{1} + x_{2}$ 的取值范围.

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18、已知 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + a x^{2} - 3 x$ （ $a \in R$ ）在 $x = - 3$ 处取得极值.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、求 $f (x)$ 在区间 $[- 3, 3]$ 上的最大值和最小值.

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19、已知点 $A (1, 0)$ ，点Р是圆C： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 8$ 上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E．

(1)、求点E的轨迹方程；

(2)、若直线 $y = k x + m$ 与点E的轨迹有两个不同的交点F和Q，且原点О总在以FQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．

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20、已知函数 $f (x) = \frac{3}{e^{x} + 1} + x^{3}$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，则 $f (2020) + f (- 2020) + f^{'} (2021) - f^{'} (- 2021)$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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