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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x^{2} + a \ln x$ ， $a \in R$ .

(1)、若曲线 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线与直线 $2 x + 3 y + 1 = 0$ 垂直，求 $a$ 的值；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、当 $x \in [\frac{1}{e}, e]$ 时， $f (x) \geq (a + 2) x$ ，求 $a$ 的取值范围.

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2、已知全集 $U = \{x ∣ - 3 < x < 3\}$ ，集合 $A = \{x ∣ - 2 < x \leq 1\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $(- 2, 1]$ B、 $(- 3, - 2) \cup [1, 3)$ C、 $(- 3, - 2] \cup (1, 3]$ D、 $(- 3, - 2] \cup (1, 3)$

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3、若双曲线经过点 $(6, \sqrt{3})$ ，且其渐近线方程为 $y = \pm \frac{1}{3} x$ ，则此双曲线的标准方程．

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4、已知 $0 < β < α < \frac{π}{2}$ ， $\sin (α - β) = \frac{4}{5}$ ， $\tan α \cdot \tan β = 2$ ，则 $\sin α \sin β =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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5、如图，正三棱锥 $O - A B C$ 的三条侧棱 $O A$ 、 $O B$ 、 $O C$ 两两垂直，且长度均为2． $E$ 、 $F$ 分别是 $A B$ 、 $A C$ 的中点， $H$ 是 $E F$ 的中点，过 $E F$ 作平面与侧棱 $O A$ 、 $O B$ 、 $O C$ 或其延长线分别相交于 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ ，已知 $O A_{1} = \frac{3}{2}$ ．
（1）求证： $B_{1} C_{1}$ ⊥平面 $O A H$ ；
（2）求二面角 $O - A_{1} B_{1} - C_{1}$ 的大小．

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6、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 $a^{2} + c^{2} - b^{2} = a c$ ， $a = \sqrt{3}, \cos A = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ．

(1)、求B的值；

(2)、求b的值；

(3)、求 $\sin (2 A - B)$ 的值．

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7、设 $F$ 为抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点，直线 $l : 2 x - a y + 2 b = 0 (a \neq 0)$ 与 $C$ 的准线 $l_{1}$ ，交于点 $A$ ．已知 $l$ 与 $C$ 相切，切点为 $B$ ，直线 $B F$ 与 $C$ 的一个交点为 $D$ ，则（）

A、点 $(a, b)$ 在 $C$ 上 B、 $∠ B A F < ∠ A F B$ C、以 $B F$ 为直径的圆与 $l_{1}$ 相离 D、直线 $A D$ 与 $C$ 相切

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8、在直角梯形 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $D C // A B$ ， $A D = D C =1$ ， $A B =2$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ ， $B C$ 的中点，点 $P$ 在以A为圆心， $A D$ 为半径的圆弧 $D E M$ 上变动（如图所示），若 $\vec{A P} = λ \vec{E D} + μ \vec{A F}$ ，其中 $λ, μ ∈R$ ，则 $2 λ − μ$ 的取值范围是（）

A、 $[− \sqrt{2},1]$ B、 $[− \sqrt{2}, \sqrt{2}]$ C、 $[− \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ D、 $[− \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}]$

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9、已知直线 $l : y = 2 x + b$ 与圆 $C : {(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 5$ 有公共点，则b的取值范围为（）

A、 $[2, 12]$ B、 $(- \infty, 2] \cup [12, + \infty)$ C、 $[- 4, 6]$ D、 $(- \infty, - 4] \cup [6, + \infty)$

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10、已知角α的终边上有一点 $P (- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ ，则 $\cos (\frac{π}{2} + α)$ =（）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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11、已知 $F (2, 0)$ 是椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点， $P (\sqrt{2}, \sqrt{3})$ 是 $E$ 上一点.

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、记 $O$ 为坐标原点，过 $F$ 的直线 $l$ 与 $E$ 交于 $A, B$ 两点，若 $O A ⊥ O B$ ，求 $|A B|$ 的值.

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12、为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）.
编号
1
2
3
4
5
学习时间x
30
40
50
60
70
数学成绩y
65
78
85
99
108

(1)、求数学成绩 $y$ 与学习时间 $x$ 的相关系数（精确到0.001）；

(2)、请用相关系数说明该组数据中 $y$ 与 $x$ 之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出 $y$ 关于 $x$ 的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩（参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 22820, \sum_{i = 1}^{5} y_{i} = 435, \sum_{i = 1}^{5} y_{i}^{2} = 38999, {107.4}^{2} \approx 11540$ ， $x_{i}$ 的方差为200）；

(3)、基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到 $2 \times 2$ 列联表（表二）.依据表中数据及小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关.
没有进步
有进步
合计
参与周末在校自主学习
35
130
165
未参与周末不在校自主学习
25
30
55
合计
60
160
220
附：方差： $S^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$ 相关系数： $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$
回归方程 $\hat{y} = b x + a$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ， $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .
$α$
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
$χ_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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13、已知 $f (x) = \sqrt{3} sin ω x cos ω x - {cos}^{2} ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，

(1)、求 $f (\frac{2 π}{3})$ 的值；

(2)、若 $g (x) = f (x) + \frac{1}{2}$ 在 $(0, m)$ 上恰有 $2$ 个极值点和 $2$ 个零点，求实数 $m$ 的取值范围．

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14、已知四棱锥 $S - A B C D$ ， $S A$ ⊥面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为正方形， $S A = A B$ ， $E$ 为 $S D$ 的中点．

(1)、求证： $A E ⊥$ 面 $S C D$ ；

(2)、求直线 $B S$ 与面 $S C D$ 所成的角．

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15、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a + b + c = 8$

(1)、若 $b = 2, c = 3$ ，求 $cos A$ 的值；

(2)、若 $sin C + sin B = 3 sin A$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $S = \frac{9}{2} sin A$ ，求 $b$ 和 $c$ 的值．

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16、已知在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B ⊥ B D, A C ⊥ C D, A B = 8, B D = 6$ ，点 $P$ 为三棱锥 $A - B C D$ 外接球上一点，则三棱锥 $P - A B D$ 的体积最大为．

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17、一位射击运动员向一个目标射击二次，记事件 $A_{i} =$ “第 $i$ 次命中目标” $(i = 1, 2), P (A_{1}) = \frac{1}{4}$ ， $P (A_{i + 1} ∣ A_{i}) = 2 P (A_{i}), P (A_{i + 1} ∣ \bar{A_{i}}) = \frac{1}{4} (i = 1)$ ，则 $P (A_{2}) =$ ．

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18、已知正方形ABCD的边长为2，若将正方形ABCD沿对角线BD折叠成三棱锥 $A - B C D$ 则在折叠过程中，不可能出现（）

A、 $A B ⊥ C D$ B、 $A C ⊥ B D$ C、三棱锥 $A - B C D$ 的体积为 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、平面 $A B D ⊥$ 平面BCD

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19、已知 $sin (θ - \frac{π}{12}) = \frac{3}{4}$ ，则 $sin (2 θ + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{7}{16}$ B、 $- \frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{7}{16}$

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20、专家研究高一学生上课注意力集中的情况，发现注意力指数 $p$ 与听课时间 $t$ （单位： $min$ ）之间的关系满足如图所示的曲线．当 $t \in (0, 14]$ 时，曲线是二次函数图象（其对称轴为 $x = 12$ ）的一部分，当 $t \in (14, 40]$ 时，曲线是函数 $y = \log_{a} (t - 5) + 83 (0 < a < 1)$ 图象的一部分．专家认为，当注意力指数 $p$ 大于或等于80时定义为听课效果最佳．

(1)、试求 $p = f (t)$ 的函数关系式．

(2)、若不是听课效果最佳，建议老师多提问，增加学生活动环节．请问应在哪一个时间段建议老师多提问，增加学生活动环节？并说明理由．

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	没有进步	有进步	合计
参与周末在校自主学习	35	130	165
未参与周末不在校自主学习	25	30	55
合计	60	160	220

$α$	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
$χ_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

编号	1	2	3	4	5
学习时间x	30	40	50	60	70
数学成绩y	65	78	85	99	108