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相关试卷

1、甲､乙､丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务.

(1)、6名同学站成一排，若甲､乙､丙自左向右从高到矮排列，则不同的排列方案有多少种？

(2)、6名同学站成一排，甲､乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种？

(3)、6名同学分成三组（每组至少有一人），进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种？

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2、设 $A, B$ 为双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 上两点，如下三个点： $P_{1} (1, 1), P_{2} (- 1, 2), P_{3} (- 1, - 4)$ 中，可作为线段 $A B$ 中点的是.（请将所有满足条件的点填入）

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3、已知 $O$ 为坐标原点， $F$ 是抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点， $A$ ， $B$ 是 $C$ 上位于 $x$ 轴异侧的两点，且 $|A F| = 3$ ， $|B F| = \frac{3}{2}$ ，则 $△ O A B$ 的面积为.

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4、方程 $C_{12}^{x - 1} = C_{12}^{5 x - 5}$ 的解为.

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5、在万州二中八十周年校庆期间，有甲、乙、丙、丁4名同学参加 $A$ ， $B$ ， $C$ 三项工作，则下列说法正确的是（）

A、不同的安排方法共有 $4^{3}$ 种 B、若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有 $C_{3}^{1} (2^{4} - 1)$ 种 C、若甲，乙两人都不能去参加 $A$ 项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种 D、学校为了表扬先进，现将25名三好学生名额分配给高二年级22个班，每个班至少一个名额，则不同的分配方法共有2024种

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6、已知平面内点 $A (- 1, 0)$ ， $B (1, 0)$ ，点 $P$ 为该平面内一动点，则（）

A、 $|P A| + |P B| = 4$ ，点 $P$ 的轨迹为椭圆 B、 $|P A| - |P B| = 1$ ，点 $P$ 的轨迹为双曲线 C、 $|P A| \cdot |P B| = 1$ ，点 $P$ 的轨迹为抛物线 D、 $\frac{|P A|}{|P B|} = 2$ ，点 $P$ 的轨迹为圆

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7、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 2)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线与 $C$ 交于点 $P$ ， $Q$ ，若 $|P F_{1}| + |Q F_{2}| = 2 |P F_{2}|$ ，且 $(\vec{F_{1} P} + \vec{F_{1} F_{2}}) \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ，则 $\frac{|Q F_{1}|}{|P F_{1}|} =$ （）

A、 $\frac{19 - \sqrt{41}}{10}$ B、 $\frac{9 - \sqrt{21}}{6}$ C、 $\frac{6 - \sqrt{21}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{77} - 7}{4}$

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8、在平面直角坐标系中，若点 $A (- 2, 0)$ 到直线l的距离为1，点 $B (2, 0)$ 到直线l的距离为3，则这样的直线l有（）

A、1条 B、2条 C、3条 D、4条

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9、同室 $4$ 人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则 $4$ 张贺年卡不同的分配方式有（）

A、 $6$ 种 B、 $9$ 种 C、 $11$ 种 D、 $23$ 种

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10、角谷猜想，也称为“ $3 n + 1$ ”猜想.其内容是：任取一个正整数，如果是偶数，将它除以2；如果是奇数，则将它乘以3再加上1，如此反复运算，该数最终将变为1.这就是对一个正整数运算时“万数归1”现象的猜想.假如对任意正整数 $a_{0} (a_{0} \geq 2)$ ，按照上述规则实施第1次运算后的结果记为 $a_{1}$ ，实施第2次运算后的结果记为 $a_{2}$ ， …，实施第 $n - 1$ 次运算后的结果记为 $a_{n - 1}$ ，实施第n次运算后得到数1，停止运算，便可以得到有穷数列 $\{a_{n}\} : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n - 1}$ ， 1，其递推关系式为： $a_{k + 1} = \{\begin{matrix} 3 a_{k} + 1 & a_{k} 为奇数 \\ \frac{a_{k}}{2} & a_{k} 为偶数 \end{matrix} (k = 0,1, 2, \dots, n - 1), a_{0}$ 叫做数列 $\{a_{n}\}$ 的原始项.将此递推关系式推广为： $a_{k + 1} = \{\begin{matrix} |λ a_{k} + 1| & a_{k} 为奇数 \\ \frac{a_{k}}{2} & a_{k} 为偶数 \end{matrix}$ （ $k = 0, 1, 2, \dots, n - 1; λ \in Z$ ，且 $λ \neq 0$ ），其它规则不变，得到的数列记作 $\{λ ∼ a_{n}\}$ 数列，试解答以下问题：

(1)、若 $a_{0} = 5$ ，则数列 $\{3 ∼ a_{n}\}$ 的项数为______；

(2)、求 $\{- 1 ∼ a_{n}\}$ 数列的原始项 $a_{0}$ 的所有可能取值构成的集合；

(3)、若对任意的 $\{1 ∼ a_{n}\}$ 数列，均有 $n \leq 2 \log_{2} a_{1} + d$ ，求d的最小值.

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11、已知抛物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，过F且斜率为2的直线与E交于A，B两点， $| A B | = 10$ .

(1)、求E的方程；

(2)、直线 $l : x = - 4$ ，过l上一点P作E的两条切线 $P M, P N$ ，切点分别为M，N.求证：直线 $M N$ 过定点，并求出该定点坐标.

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12、对集合 $A = {- 1, 2, x, y}$ ，其中 $x > 0, y > 0$ ，定义向量集合 $Ω = {\vec{a} ∣ \vec{a} = (m, n), m, n \in A}$ ，若对任意 $\vec{a_{1}} \in Ω$ ，存在 $\vec{a_{2}} \in Ω$ ，使得 $\vec{a_{2}} ⊥ \vec{a_{1}}$ ，则 $x + y =$ .

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13、已知 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, φ < ω < π)$ 是某个简谐运动的函数解析式，其部分图象如图所示，则下列命题正确的是（）

A、 $ω = 2$ B、这个简谐运动的初相为 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$ C、 $f (x)$ 在 $[\frac{5 π}{2}, 3 π]$ 上单调递减 D、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到的图象对应的函数是偶函数

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14、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，O是坐标原点，过 $F_{1}$ 作直线与C交于A，B两点，若 $|A F_{2}| = | A B |$ ，且 $△ O A F_{2}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{6} b^{2}$ ，则椭圆C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{12}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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15、若 $5 \cos 2 α - \sin 2 α = \frac{1}{\cos^{2} 2 α} - \tan^{2} 2 α$ ，则 $\tan α =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- 1$ C、1 D、 $- 1$ 或 $\frac{2}{3}$

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16、已知函数 $f (x)$ 的导函数是 $f^{'} (x)$ ，且 $f^{'} (x) = x^{3}, p = \ln 3, q = \log_{11} 3$ ，则下列命题正确的是（）

A、 $f (- p) < f (q)$ B、 $f (p) > f (2 q)$ C、 $f (\frac{1}{p}) > f (\frac{1}{q})$ D、 $f (\frac{1}{p} + 1) > f (\frac{1}{q})$

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17、双曲线 $C : \frac{y^{2}}{a^{2}} - x^{2} = 1 (a > 0)$ 的上焦点 $F_{2}$ 到双曲线一条渐近线的距离为 $\frac{a}{2}$ ，则双曲线两条渐近线的斜率之积为（）

A、 $- 4$ B、4 C、 $- 2$ D、2

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18、某台机器每天生产10000个零件，现连续12天检测，得到每天的次品零件个数依次为：8，12，9，18，16，17，15，9，18，20，13，11，则这组样本数据的中位数与第60百分位数之和是（）

A、29 B、30 C、30.5 D、31

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19、某手机销售商为了了解一款 $5 G$ 手机的销量情况，对近100天该手机的日销售量 $X$ （单位：部）进行了统计，经计算得到了样本的平均值 $\bar{X} = 300$ ，样本的标准差 $s = 50$ ．

(1)、经分析，可以认为该款手机的日销售量 $X$ 近似服从正态分布 $N (u, δ^{2})$ ，用样本的平均值 $\bar{X}$ 作为 $u$ 的近似值，用样本的标准差 $s$ 作为 $δ$ 的近似值，现任意选取一天，试估计这一天该款手机的销量恰好在 $[300, 400)$ 之间的概率；

(2)、为了促销，该销售商推出了“摸小球、送手机”的活动，活动规则为：①每位购买了一部该款手机的顾客参加一次活动；②箱子中装有红球2个和白球4个，如果摸到的是白球，则获得1个积分，如果摸到的是红球，则获得2个积分．放回后进行下一次摸取．设顾客的初始积分为0，顾客的积分之和为 $n (n \in N)$ 的概率为 $P (n)$ ，
（ⅰ）求 $P (0), P (1)$ 的值，并证明：数列 $\{P (n) - P (n - 1)\} (n \in N^{*})$ 是等比数列；
（ⅱ）销售商家规定当积分之和达到19或20时，游戏结束，如果最终积分为19，顾客获得二等奖，手机的售价减免1000元；如果最终的积分为20，顾客获得一等奖，手机的售价减免2000元．活动的第一天共有300位顾客各购买了一部该手机，且都参加了活动，试估计获得一等奖的顾客人数．（结果四舍五入取整数）
参考数据：若随机变量 $ξ ～ N (u, δ^{2})$ ，则 $P (u - δ \leq ξ < u + δ) \approx 0.6827$ ，
$P (u - 2 δ \leq ξ < u + 2 δ) \approx 0.9545, P (u - 3 δ \leq ξ < u + 3 δ) \approx 0.9973$ ．

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20、设函数 $f (x) = {(x - 1)}^{3} - a (x - 1), x \in R$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 存在极值点 $x_{0}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{0})$ ，其中 $x_{1} \neq x_{0}$ ，求证： $x_{1} + 2 x_{0} = 3$ ；

(3)、若 $a > 0$ ，函数 $g (x) = |f (x + 1)|$ ，求 $g (x)$ 在 $[0, 2]$ 上的最大值．

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