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相关试卷

1、若函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x + 2 \cos^{2} \frac{x}{2}$ ， $△ A B C$ 的角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $f (A) = 3$ .
（1）当 $\frac{b + c}{a}$ 取最大值时，判断 $△ A B C$ 的形状；
（2）在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 边的中点，且 $A D = \sqrt{13}$ ， $A C = 2$ ，求 $B C$ 的长.

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2、如图， $P D C E$ 为矩形， $A B C D$ 为梯形，平面 $P D C E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ B A D = ∠ A D C = 90 °$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} C D = a$ ， $P D = \sqrt{2} a$ ．

(1)、若 $M$ 为 $P A$ 中点，求证： $A C ∥$ 平面 $M D E$ ；

(2)、求直线 $P B$ 与直线 $C D$ 所成角的大小；

(3)、设平面 $P A D \cap$ 平面 $E B C = l$ ，试判断 $l$ 与平面 $A B C D$ 能否垂直？并求平面 $P A D$ 与平面 $E B C$ 所成锐二面角的大小．

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3、已知四棱锥A—BCDE，AB=BC=AC=BE=1，CD=2BE=2，CD $⊥$ 面ABC，BE∥CD，F为AD的中点．

(1)、求证：EF∥面ABC；

(2)、求四棱锥A—BCDE的体积，

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4、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足 $b \cos \frac{B + C}{2} = a \sin B$ .

(1)、求A；

(2)、若 $a = \sqrt{19}$ ， $\overset{⃑}{B A} \cdot \overset{⃑}{A C} = 3$ ， AD是 $△ A B C$ 的中线，求AD的长.

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5、已知向量 $\vec{a} = (- 3, 1), \vec{b} = (1, - 2), \vec{m} = \vec{a} + k \vec{b} (k \in R)$

(1)、向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 夹角的余弦值；

(2)、若向量 $\vec{m}$ 与 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 垂直，求实数k的值；

(3)、若向量 $\vec{c} = (1, - 1)$ ，且 $\vec{m}$ 与向量 $k \vec{b} + \vec{c}$ 平行，求实数k的值.

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 的中点，点 $E$ 在 $A B$ 上，且 $B E = 2 E A, A D$ 与 $C E$ 交于点 $O$ ，设 $\vec{A O} = λ \vec{A D}$ .

(1)、求 $λ$ 的值；

(2)、当 $A B = 5, A C = 3$ 时，求 $\vec{A O} \cdot \vec{B C}$ 的值.

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7、中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.如下图的印信，可以看成是将一个棱长等于2cm的正方体截去8个一样的四面体之后得到的，则该印信的所有棱长之和等于cm，该印信的表面积等于 ${cm}^{2}$ .

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8、已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 $2 \sqrt{3}$ 的半圆，则圆锥的底面半径为；若该圆锥的顶点及底面圆周在球O的表面上，则球O的体积为.

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9、 $- 4 + 3 i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的根， $p =$ ．

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10、若 $\vec{A B} = (3, - 6)$ ， $B (- 2, 3)$ ，则线段AB的靠近B的三等分点P的坐标为.

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11、如图，在边长为2的正方形 $S G_{1} G_{2} G_{3}$ 中，E、F分别是 $G_{1} G_{2}$ 、 $G_{2} G_{3}$ 的中点.若沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使 $G_{1}$ 、 $G_{2}$ 、 $G_{3}$ 三点重合，重合后的点记为G，则（）

A、 $G S ⊥ E F$ B、点G到平面SEF的距离为 $\frac{3}{4}$ C、三棱锥 $G - S E F$ 的外接球表面积为 $6 π$ D、二面角 $E - G S - F$ 等于 $45 °$

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12、锐角△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且 $c - b = 2 b \cos A$ ，下列结论正确的是（）

A、A=2B B、B的取值范围为 $(0, \frac{π}{4})$ C、 $\frac{a}{b}$ 的取值范围为 $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ D、 $\frac{1}{\tan B} - \frac{1}{\tan A} + 2 \sin A$ 的取值范围为 $(\frac{5 \sqrt{3}}{3}, 3)$

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13、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面为直角三角形， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $B C = C C_{1} = \sqrt{2}$ ， P是 $B C_{1}$ 上一动点，则 $C P + P A_{1}$ 的最小值为（）

A、 $5 \sqrt{2}$ B、 $5 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{10}$ D、 $3 \sqrt{10}$

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14、为捍卫国家南海主权，我国海军在南海海域进行例行巡逻，某天，一艘巡逻舰从海岛A出发，沿南偏东75°的方向航行到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东45°的方向航行了 $60 \sqrt{2}$ 海里到达海岛C.若巡逻舰从海岛A以北偏东60°的航向出发沿直线到达海岛C，则航行路程AC(单位：海里)为（）

A、 $10 \sqrt{3}$ B、 $30 \sqrt{3}$ C、 $40 \sqrt{3}$ D、 $60 \sqrt{3}$

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15、已知 $|\vec{b}| = 2 |\vec{a}|$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $120^{\circ}$ ，则 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $- 3 \vec{b}$ B、 $- \frac{3}{2} \vec{b}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $3 \vec{b}$

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16、如图，在正四面体 $A B C D$ 中， $M$ 是 $B C$ 的中点，P是线段 $A M$ 上的动点，则直线 $D P$ 和 $B C$ 所成角的大小（）

A、一定为 $90 °$ B、一定为 $60 °$ C、一定为 $45 °$ D、与P的位置有关

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17、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (m - 1, 1), \overset{⃑}{b} = (m, - 2)$ ，则“ $m = 2$ ”是“ $\overset{⃑}{a} ⊥ \overset{⃑}{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、如图，已知等腰直角三角形 $O^{'} A^{'} B^{'}$ 是一个平面图形的直观图， $O^{'} A^{'} = A^{'} B^{'}$ ，斜边 $O^{'} B^{'} = 2$ ，则这个平面图形的面积是（　　）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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19、若函数 $f (x) = {log}_{0.5} (a x - x^{2})$ 在区间 $(- 1, 0)$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是( )

A、 $(0, 2]$ B、 $[- 2, 0)$ C、 $[2, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 2]$

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20、为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备．使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C（单位：万元）与太阳能电池面积x（单位：平方米）之间的函数关系为 $C (x) = \{\begin{array}{l} \frac{m - 4 x}{5}, 0 \leq x \leq 10 \\ \frac{m}{x}, x > 10 \end{array}$ ，（m为常数），已知太阳能电池面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元．安装这种供电设备的工本费为 $0.5 x$ （单位：1万元），记 $F (x)$ 为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和

(1)、写出 $F (x)$ 的解析式；

(2)、当x为多少平方米时， $F (x)$ 取得最小值？最小值是多少万元？

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