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1、如图五面体 $A B C D E$ 中，四边形 $A B D E$ 是菱形， $△ A B C$ 是以角 $A$ 为顶角的等腰直角三角形，点 $M$ 为棱 $A B$ 的中点，点 $N$ 为棱 $C D$ 的中点

(1)、求证： $B N //$ 平面 $M C E$

(2)、若点 $E$ 在平面 $A B C$ 的射影恰好是棱 $B C$ 的中点，点 $P$ 是线段 $M E$ 上的一点且满足 $\vec{M P} = \frac{1}{3} \vec{M E}$ ，求平面 $B N P$ 与平面 $A B C$ 所成角的余弦值．

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = 2 (a_{n} - n^{2} + 3 n - 1), (n \in N_{+})$ ，令 $b_{n} = a_{n} + 4 n$ .

(1)、证明：数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列；

(2)、求数列 $\{\frac{a_{n}}{b_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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3、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆心为 $(m, 2 m)$ $(m > 0)$ 的圆C与y轴相切，动直线 $l$ 过点 $P (0, 6)$ .

(1)、当 $m = 4$ 时，直线 $l$ 被圆所截得的弦长为 $2 \sqrt{14}$ ，求直线 $l$ 的方程；

(2)、圆C上存在点 $M$ 满足 $\vec{M O} \cdot \vec{M P} = 0$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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4、已知函数 $f (x) = e^{- x} (\ln a + \ln x)$ ，对任意 $x > 0$ ， $f (x) < \frac{1}{a}$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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5、已知底面重合的两个正四面体 $O A B C$ 和 $O D B C$ ， $G$ 为 $△ B D C$ 的重心，记 $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O C} = \vec{c}$ ，则向量 $\vec{O G}$ 用向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示为

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6、已知 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ 分别是等差数列 $\{a_{n}\}$ 与等比数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $a_{2} + b_{2} = 4$ ， $T_{3} = 3$ ，则 $S_{3} =$ ．

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7、已知定义域为 $(0,+ \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x y + 1) = \frac{f (x y)}{f (x) f (y) + 1}$ ，且 $f (2) = \frac{1}{2}$ ，记 $a_{n} = \frac{1}{\sqrt{f (n)}}$ ，则下列选项中正确的有（）

A、 $\frac{1}{a_{1} + a_{2}} + \frac{1}{a_{2} + a_{3}} + \dots \dots + \frac{1}{a_{20} + a_{21}} < \sqrt{21}$ B、当 $n \geq 2$ 时， $a_{n} - a_{n - 1} > \frac{1}{2 \sqrt{n}}$ C、当 $n \geq 2$ 时， $(a_{n} - a_{n - 1}) (a_{n + 1} - a_{n}) > 1$ D、 $\frac{1}{a_{1}^{3}} + \frac{1}{a_{2}^{3}} + \dots \dots + \frac{1}{a_{16}^{3}} > \frac{15}{8}$

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8、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，下列命题正确的是（）

A、若椭圆 $C$ 上存在一点 $P$ 使 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{2 π}{3}$ ，则椭圆离心率的取值范围是 $[\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$ B、若椭圆 $C$ 上存在四个点 $P$ 使得 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ，则 $C$ 的离心率的取值范围是 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ C、若椭圆 $C$ 上恰有6个不同的点 $P$ ，使得 $△ P F_{1} F_{2}$ 为等腰三角形，则椭圆 $C$ 的离心率的取值范围是 $(\frac{1}{3}, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, 1)$ D、若任意以椭圆 $C$ 的上顶点为圆心的圆与椭圆 $C$ 至多3个公共点，则椭圆 $C$ 的离心率的取值范围是 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$

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9、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x + 4, x \in [\frac{1}{2}, 2]$ ，则下列选项中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{2}, 2]$ 上单调递增 B、函数 $f (x)$ 在的值域为 $[2, 6]$ C、函数 $f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程为 $y = - 3 x + 4$ D、关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ 有2个不同的根当且仅当 $a \in [2, \frac{21}{8}]$

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10、已知 $x \in [1, 3]$ ，方程 $e^{x - \frac{1}{2} \ln x} + \frac{b}{\sqrt{x}} = a \sqrt{x + \frac{5}{x} - 2}$ 有实数根，则 $a^{2} + \frac{b^{2}}{4}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{e^{2}}{9}$ B、 $\frac{e^{2}}{8}$ C、 $\frac{\sqrt{2} e}{4}$ D、 $e$

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11、在如图所示的试验装置中，正方形框 $A B C D$ 的边长为2，长方形框 $A B E F$ 的长 $B E = \sqrt{2} A B$ ，且它们所在平面形成的二面角 $C - A B - E$ 的大小为 $\frac{π}{4}$ ，活动弹子 $M, N$ 分别在对角线 $A C$ 和 $B F$ 上移动，且始终保持 $\frac{A M}{A C} = \frac{B N}{B F} = λ (0 < λ < 1)$ ，则 $M N$ 的长度最小时 $λ$ 的取值为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{5}$

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12、已知双曲线 $M$ ： $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 作垂直于 $x$ 轴的直线交双曲线 $M$ 于 $P, Q$ 两点， $△ P F_{1} F_{2}, △ Q F_{1} F_{2}, △ F_{1} P Q$ 的内切圆圆心分别为 $O_{1}, O_{2}, O_{3}$ ，则 $△ O_{1} O_{2} O_{3}$ 的周长是（）

A、 $2 \sqrt{2} + 2$ B、 $2 \sqrt{5} + 2$ C、 $\frac{2 \sqrt{13}}{3} + 2$ D、 $\frac{3 \sqrt{13}}{2} + 2$

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13、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，满足 $(a_{n} - 1) T_{n} = 2 a_{n}$ ，则 $a_{n} < \frac{2025}{2024}$ 时的 $n$ 的最小值为（）

A、2026 B、2025 C、2024 D、2023

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14、已知 ${\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}$ 是空间的一个基底，则下列向量中与向量 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} - 2 \vec{c}$ 能构成空间基底的是（）

A、 $\vec{a} - \vec{b} - 4 \vec{c}$ B、 $2 \vec{a} + \vec{b} - 2 \vec{c}$ C、 $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\vec{a} + 2 \vec{b} + 2 \vec{c}$

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15、已知函数 $f (x) = e^{x} {(x - a)}^{2}$ 在 $x = 1$ 处有极大值，则 $a$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $3$ D、 $1$ 或 $3$

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16、直线 $x + \sqrt{3} y - 1 = 0$ 的倾斜角的度数为（）

A、 $150^{\circ}$ B、 $60^{\circ}$ C、 $30^{\circ}$ D、 $- 30^{\circ}$

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17、下列求导正确的（）

A、 ${(x + \frac{1}{x})}^{'} = 1 + \frac{1}{x^{2}}$ B、 ${[\ln (2 x + 1)]}^{'} = \frac{1}{2 x + 1}$ C、 ${(\frac{e^{x}}{x})}^{'} = \frac{e^{x} (x + 1)}{x^{2}}$ D、 ${(x \sin x)}^{'} = \sin x + x \cos x$

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18、牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法—牛顿法.如图，r是函数 $f (x)$ 的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近r的实数 $x_{0}$ ， $x_{1}$ ， … $x_{n - 1}$ ， $x_{n}$ ，在点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 处作 $f (x)$ 的切线，则 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的切线与 $x$ 轴交点的横坐标是 $x_{1}$ ，同理 $f (x)$ 在 $(x_{1}, f (x_{1}))$ 处的切线与x轴交点的横坐标是 $x_{2}$ ，一直继续下去，得到数列 $\{x_{n}\} (n \in N^{*})$ ，从图中可以看到， $x_{1}$ 较 $x_{0}$ 接近r， $x_{2}$ 较 $x_{1}$ 接近r，……，当n很大时， $|x_{n} - r|$ 很小，我们就可以把 $x_{n}$ 的值作为r的近似值，即把 $x_{n}$ 作为函数 $f (x)$ 的近似零点.现令 $f (x) = {(2 x + 1)}^{3}$ .

(1)、当 $x_{0} = 1$ 时，求 $f (x) = 0$ 的近似解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ；

(2)、在（1）的条件下，求数列 $\{x_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ；

(3)、当 $x > 0$ 时，令 $g (x) = \frac{1}{3} x \cdot ln [f (\frac{x - 1}{2})]$ ，若 $- \frac{1}{4} < m < 0$ 时， $g (x) = m$ 有两个不同实数根 $α$ ， $β (α < β)$ .求证： $\sqrt{1 + 4 m} < β - α < m + 1$ .

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19、甲、乙两个不透明的口袋内装有除颜色外大小质地完全相同的若干个小球，已知甲口袋有 $m (m \geq 1, m \in N^{*})$ 个红球和4个白球，乙口袋有 $n (n \geq 1, n \in N^{*})$ 个红球和2个白球.现在小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球.

(1)、当 $m = n = 4$ 时.
（i）求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率；
（ii）设小明4次摸球中，摸出白球的个数为X，求X的分布列和数学期望 $E (X)$ ；

(2)、当 $m = 2 n$ 时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为P，则当m为何值时，P最大？

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20、如图，在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A D // B C$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} B C = 2$ ， E是 $B C$ 的中点， $A E \cap B D = M$ ，将 $△ B A E$ 沿着 $A E$ 翻折成 $△ B_{1} A E$ .

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $B_{1} D M$ ；

(2)、若平面 $B_{1} A E ⊥$ 平面 $A E C D$ ，求平面 $B_{1} M D$ 与平面 $B_{1} A D$ 夹角的余弦值；

(3)、在线段 $B_{1} C$ 上是否存在点P，使得 $M P //$ 平面 $B_{1} A D$ ，若存在，求出 $\frac{B_{1} P}{B_{1} C}$ 的值；若不存在，说明理由.

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