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相关试卷

1、菱形 $A B C D$ 的边长为2，且 $∠ D A B = 60 °$ ， $\overset{⃑}{A B} \cdot \overset{⃑}{B C} =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- 2$ C、2 D、 $- \sqrt{3}$

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2、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $a = \sqrt{2}$ ， $A = \frac{3 π}{4}$ ，若 $λ b + c$ 有最大值，则实数 $λ$ 的取值范围是.

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3、如图，曲线 $C$ 是一条“双纽线”.已知 $C$ 过 $(\sqrt{2}, 0), C$ 上任意一点 $P$ 到点 $F_{1} (- a, 0), F_{2} (a, 0)$ 的距离之积为定值 $a^{2} (a > 0)$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $|O P|$ 的最大值；

(3)、除原点外，直线 $l_{1} : y = k_{1} x, l_{2} : y = k_{2} x$ 分别与 $C$ 相交于 $P, Q, M, N$ 四点.记四边形 $P M Q N$ 的面积为 $S$ ，求证： $S \leq \frac{2 {(1 - k_{1} k_{2})}^{2}}{(1 + k_{1}^{2}) (1 + k_{2}^{2})}$ .

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4、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{1}{2}$ ，且过点 $(1, \frac{3}{2})$ .

(1)、求曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、若曲线 $C$ 的左右顶点分别为 $A, B$ ，过点 $M (3, 0)$ 且斜率为负数的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P, Q$ 两点（ $P$ 点在 $Q$ 点上方），直线 $A Q$ 与 $B P$ 的交点为 $N$ .
（i）求证：点 $N$ 在定直线 $m$ 上；
（ii）若直线 $m$ 与 $x$ 轴交于点 $H$ ，求 $\frac{S_{△ P A H}}{S_{△ Q B H}}$ 的取值范围.

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5、已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的棱长均为 $2, B C$ 中点为 $D, B_{1} C$ 与 $C_{1} D$ 交于点 $E, \vec{A F} = 2 \vec{F C}$ .

(1)、证明： $E F$ $/ /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、求平面 $D E F$ 与平面 $A B C$ 所成角的余弦值.

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6、已知直线 $l : m x + (2 m - 1) y + 2 = 0$ ，圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} + 6 x - 6 y + 9 = 0$ ，圆 $C_{2}$ ： ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 16$ .

(1)、判断直线 $l$ 与圆 $C_{1}$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 交于 $A ､ B$ 两点，求过 $A ､ B$ 与 $(\frac{6}{5}, \frac{3}{5})$ 这三点的圆的方程.

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7、如图所示，在 $△ A B C$ 中， $D, F$ 分别是边 $B C, A C$ 的中点， $\vec{A E} = \frac{2}{3} \vec{A D}, \vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示 $\vec{A D}, \vec{C D}$ ；

(2)、求证： $B, E, F$ 三点共线.

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8、已知等边 $△ A B C$ 的边长为 $2, △ A B C$ 所在平面存在 $O, P$ 两点，满足 $\vec{O P} = λ_{1} \vec{O A} + λ_{2} \vec{O B} + λ_{3} \vec{O C}$ ，其中 $λ_{1} + λ_{2} + λ_{3} = 1$ 且 $λ_{1}, λ_{2}, λ_{3} \geq 0$ .若 $|O P| = 1$ ，则点 $O$ 运动所形成的轨迹的区域面积为.

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9、已知 $O$ 为坐标原点，圆 $C : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 2, P$ 在直线 $l : x - y + 2 = 0$ 上运动，则 $|P C| + |P O|$ 的最小值为.

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10、抛物线 $x = 8 y^{2}$ 上一点到其焦点 $F$ 的距离的最小值为.

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11、若正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 边长为1，点 $P$ 满足 $\vec{D P} = λ \vec{D A} + μ \vec{D C}$ ，其中 $λ \in [0, 1], μ \in[0, 1]$ ，则（）

A、当 $λ = 0$ 时，存在点 $P$ ，使得 $A P$ $∥$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ B、当 $λ, μ$ 满足 $λ = μ^{2}$ 时，不存在点 $P$ ，使得 $A_{1} P ⊥ C_{1} P$ C、当 $λ, μ$ 满足 $λ + μ = 1$ 时，存在点 $P$ ，使得 $B P$ 与平面 $A_{1} B C_{1}$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ D、当 $λ, μ$ 满足 $2 λ^{2} + 4 μ^{2} = 1$ 时，三棱锥 $P - A C D_{1}$ 的体积的最小值为 $\frac{2 - \sqrt{3}}{12}$

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12、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A, B$ 分别在直线 $l_{1} : y = k x (k > 0), l_{2} : y = - k x$ 上（均异于点 $O$ ）， $∠ A O B = θ, \vec{O P} = \vec{O A} + \vec{O B}$ .过点 $A, B$ 分别作 $∠ A O B$ 的角平分线的垂线，垂足分别为 $M, N$ ， $△ O A M, △ O B N$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ .若 $S_{1} + S_{2}$ 为定值，则（）

A、 $θ \in (0, \frac{π}{2})$ 时，点 $P$ 的轨迹是椭圆 B、 $θ \in (\frac{π}{2}, π)$ 时，点 $P$ 的轨迹是双曲线 C、存在 $θ$ ，使得点 $P$ 的轨迹是圆 D、存在 $θ$ ，使得点 $P$ 的轨迹是抛物线

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13、对于任意两个非零向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ ，下列命题中正确的是（）

A、 ${\vec{a}}^{2} = {|\vec{a}|}^{2}$ B、 $|{\vec{a}}^{2} - {\vec{b}}^{2}| = |\vec{a} + \vec{b}| \cdot |\vec{a} - \vec{b}|$ C、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量的模为 $\frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ D、向量 $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} + \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$ 与向量 $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} - \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$ 垂直

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14、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 和双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1 (m > 0, n > 0)$ 有相同的焦点 $F_{1}, F_{2}, P$ 为两曲线在第一象限的交点， $e_{1}, e_{2}$ 分别为曲线 $C_{1}, C_{2}$ 的离心率.若 $∠ P F_{1} F_{2} = ∠ F_{2} P O$ ，则 $e_{2} + \frac{2}{e_{1}}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $6 \sqrt{2}$

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15、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2, M, N$ 分别是棱 $A A_{1}$ 和 $C C_{1}$ 上的中点，点 $P$ 是正方体表面上一点且满足 $\vec{P M} \cdot \vec{P N} = - \frac{1}{8}$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为（）

A、 $\frac{\sqrt{14}}{2} π$ B、 $\sqrt{14} π$ C、 $\frac{3 \sqrt{14}}{2} π$ D、 $3 \sqrt{14} π$

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16、已知点 $A (1, 0)$ 、 $B (4, 0)$ ，点 $P$ 满足 $|B P| = 2 |A P|$ ，记 $P$ 的轨迹为 $C$ ，下列说法正确的是（）

A、曲线 $C$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} = 1$ B、曲线 $C$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} = 4$ C、点 $P$ 的轨迹所围成的面积为 $2 π$ D、点 $P$ 的轨迹所围成的面积为 $8 π$

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17、如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形 $A B C D$ 的直观图为梯形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，其中 $A^{'} B^{'}$ $∥$ $C^{'} D^{'}, A^{'} B^{'} ⊥ B^{'} C^{'}, A^{'} B^{'} = 2, D^{'} C^{'} = 1$ .以原四边形 $A B C D$ 的边 $A D$ 为轴旋转一周得到的几何体体积为（）

A、 $\frac{14 \sqrt{2}}{3} π$ B、 $\frac{7 \sqrt{2} π + 4 π}{4}$ C、 $\frac{7 \sqrt{2}}{3} π$ D、 $\frac{10}{3}$

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18、已知向量 $\vec{a} = (2, 2 \sqrt{3}), \vec{b} = (t, 1)$ ，若 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{4} \vec{a}$ ，则 $t =$ （）

A、 $- \sqrt{3} - 2$ B、 $- \sqrt{3} + 2$ C、 $\sqrt{3} - 2$ D、 $\sqrt{3} + 2$

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19、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, P$ 是 $C$ 上在第二象限内的一点，且 $|P F_{2}| - |P F_{1}| = 2$ ，则直线 $P F_{2}$ 的斜率为（）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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20、攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式.如图所示的亭子模型带有攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，若此圆锥底的面积为 $4 π$ ，体积为 $\frac{4 \sqrt{5}}{3} π$ ，则将此圆锥展开，所得扇形的圆心角为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\frac{4 π}{3}$ D、 $\frac{7 π}{6}$

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