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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = e^{x} - a$

(1)、若 $a = 1, g (x) = f (x) \cos x - \sin x$ ，讨论函数 $g (x)$ 在 $(0, 2 π)$ 的单调性；

(2)、若 $a = 1$ ，求证： $f (x) \geq x$ ．

(3)、若 $h (x) = f (x) - x \cos x$ 在 $[0, + \infty)$ 上有唯一的零点，求实数 $a$ 的最小值．

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2、某校高一年级开设建模，写作，篮球，足球，音乐，朗诵，素描7门选修课，每位同学须彼此独立地选3门课程，其中甲选择篮球，不选择足球，丙同学不选素描，乙同学没有要求.

(1)、求甲同学选中建模且乙同学未选中建模的概率；

(2)、用 $X$ 表示甲、乙、丙选中建模的人数之和，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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3、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x - 1) + f (5 - x) = 2$ ，则 $f (2) =$ ；若 $f (2 x + 1)$ 为偶函数， $g (x) = f (x + 2) - 1$ ，且 $x \in (0, 1]$ 时， $g (x) = 4 e^{x - 1} sin (\frac{π}{3} x)$ ，则 $g (x)$ 图象与曲线 $y^{2} = 4 |x|$ 的交点个数为.

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4、直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = 2, A A_{1} = \sqrt{3}, ∠ A B C = 120^{\circ}, E$ 为 $A B$ 边中点，则异面直线 $A C_{1}$ 与 $B_{1} E$ 所成角的余弦值为.

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5、已知复数 $z$ 满足 $i z = 3 + 4 i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $|z| =$ .

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6、已知 $O$ 为坐标原点，椭圆 $C_{1} : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为4，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过抛物线 $C_{2} : y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ 作直线 $l$ 交抛物线于 $A, B$ 两点，连接 $A O, B O$ 并分别延长交椭圆 $C_{1}$ 于 $M, N$ 两点，则下列结论正确的是（）

A、若 $\vec{A F} = 2 \vec{F B}$ ，则 $|A B| = \frac{9}{2}$ B、若直线 $O M, O N$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，则 $k_{1} k_{2} = - \frac{1}{4}$ C、若抛物线 $C_{2}$ 的准线与 $x$ 轴交于点 $P$ ，直线 $l$ 的倾斜角为 $45 °$ ，则 $tan ∠ A P B = 2 \sqrt{2}$ D、 $\frac{1}{|O M|} + \frac{1}{|O N|}$ 的最小值为 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$

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7、已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $b^{2} - 3 a c \geq 0, f (x)$ 有两个极值点 B、 $f (x)$ 的对称中心为 $(- \frac{b}{3 a}, f (- \frac{b}{3 a}))$ C、过平面内一点 $P$ 作 $f (x)$ 的切线最多有三条 D、 $f (x) = 0$ 有三个不同的根 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} = \frac{b}{a}$

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8、在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数字图形（见下图），即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第 $n$ 行的所有数字之和为 $2^{n - 1}$ ，若去除所有为1的项，依次构成数列 $\{a_{n}\}$ ：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{12} = a_{14}$ B、 $S_{15} = 104$ C、第 $\frac{n^{2} - n + 2}{2}$ 项为 $n + 1, n \in N^{*}$ D、从杨辉三角的图中抽取一斜线的数列1，3，6，10，15，…，得到其倒数和 $S$ ，则 $S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \cdot \cdot \cdot > 2$

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9、已知 $x_{1}$ 是函数 $f (x) = x ln x - e$ 的零点， $x_{2}$ 是函数 $g (x) = x + ln x - 1$ 的零点，则 $x_{1} x_{2}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{e}$ B、1 C、 $\sqrt{e}$ D、e

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10、有一组样本数据为 $- 1$ ， 3，7，8，9，11，在其中添加一个数 $x$ 构成一组新的样本数据，若 $x \in \{0, 2, 3, 8, 9, 12\}$ ，则新旧样本数据的下四分位数相等的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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11、已知点 $(m, 9)$ 在幂函数 $f (x) = (m - 2) x^{α}$ 的图象上，设 $a = f (\frac{α + 1}{m})$ ， $b = f (ln 2)$ ， $c = f (3^{\sqrt{2}})$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $b < a < c$ D、 $c < b < a$

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12、若 $cos (θ - \frac{π}{3}) = \frac{2}{3}$ ，则 $cos (2 θ + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $- \frac{1}{9}$ C、 $- \frac{5}{9}$ D、 $\frac{5}{9}$

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13、若随机变量 $ξ \sim N (3, σ^{2})$ ，且 $P (ξ \leq a) = P (ξ \geq b)$ ，则 $a^{2} + 2 b^{2}$ 的最小值为（）

A、18 B、 $18 \sqrt{2}$ C、24 D、27

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14、在复平面内，点 $Z (3, 4)$ 对应的复数为 $z$ ，则 $| \frac{1 - i}{z} | =$ （）

A、 $\frac{2}{25}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$

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15、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $a_{6} + a_{8} + a_{10} = 36$ ，则 $S_{15} =$ （）

A、270 B、225 C、180 D、135

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16、集合 $A = \{x |- 1 \leq x \leq 2\}$ ， $B = \{x \in N |x < 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{- 1, 0, 1\}$ D、 $\{x |- 1 \leq x < 2\}$

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17、在公比不为1的等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{5} = 48$ ，且 $a_{4}, a_{2}, a_{3}$ 依次成等差数列
（1）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（2）令 $b_{n} = 2 + \log_{2} \frac{|a_{2 n}|}{3}$ ，设数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，求证： $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \frac{1}{S_{3}} + \dots + \frac{1}{S_{n}} < \frac{3}{4}$

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{2} = 2, 2 S_{n} = n (a_{n} + 1), n \in N^{*}$
（1）设数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = n • {(a_{1} + 1)}^{n}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ：
（2）证明数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，并求其通项公式；

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2 a_{n} + 1}, n \in N^{*}$ ．
（1）证明：数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 是等差数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{2 n + 1}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，求使不等式 $S_{n}$ ＜ $k$ 对一切 $n \in N^{*}$ 恒成立的实数 $k$ 的范围．

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20、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 5$ ， $a_{2}$ 为整数，且 $S_{n} \leq S_{3} (n \in N^{*})$ .
（1）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）若 $b_{n} = |a_{n}|$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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