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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{n} = n^{2}$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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2、已知 ${(1 + x)}^{2025} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \dots + a_{2025} x^{2025}$ ，则： $a_{0} + a_{2} + a_{4} + \dots + a_{2022} + a_{2024}$ 被 $3$ 除的余数是．

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3、函数 $f (x)$ 的图象如图所示， $f^{'} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导函数，则不等式 $\frac{f^{'} (x)}{x} < 0$ 的解集为．

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4、若样本数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 的平均数为2，则数据 $2 x_{1} + 3$ ， $2 x_{2} + 3$ ， $2 x_{3} + 3$ ， $2 x_{4} + 3$ ， $2 x_{5} + 3$ 的平均数为

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5、已知在 ${(\sqrt[3]{x} - \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的二项展开式中，第 $6$ 项为常数项，则（）

A、 $n = 10$ B、展开式中系数的绝对值最大的项是第 $4$ 项 C、含 $x^{2}$ 的项的系数为 $\frac{45}{4}$ D、展开式中有理项的项数为 $4$

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6、已知函数 $f (x) = x^{3}$ ，若不等式 $f (a x + 1) + f (ln \frac{1}{x}) > 0$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{e^{2}} ， + \infty)$ B、 $[- \frac{1}{e^{2}} ， + \infty)$ C、 $(- \frac{2}{e^{2}} ， + \infty)$ D、 $[\frac{2}{e^{2}} ， + \infty)$

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7、某学校周一安排有语文、数学、英语、政治、历史、地理、体育七节课，要求体育课不排在第一节课，数学不排在第四节课，则这天课表的不同排法种数为（）

A、 $3520$ B、 $3720$ C、 $3680$ D、 $3940$

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8、甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为 $0.6$ 和 $0.5$ ，现已知目标被击中情况下，则甲击中目标的概率为（）

A、 $0.45$ B、 $0.4$ C、 $0.65$ D、 $0.75$

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9、如图，已知等腰直角三角形 $△ O^{'} A^{'} B^{'}$ ， $O^{'} A^{'} = A^{'} B^{'}$ 是一个平面图形的直观图，斜边 $O^{'} B^{'} = 2$ ，则这个平面图形的面积是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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10、复数 $z = (\sin θ - 2 \cos θ) + (\sin θ + 2 \cos θ) i$ 是纯虚数，则 $\sin θ \cos θ =$ （）

A、 $- \frac{5}{2}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{5}{2}$

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11、 $89 \times 90 \times 91 \times \dots \times 100$ 可以表示为( )．

A、 $A_{100}^{10}$ B、 $A_{100}^{11}$ C、 $A_{100}^{12}$ D、 $A_{100}^{13}$

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12、以下是数学中对“曼哈顿距离”的定义：在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设点 $P (x_{1}, y_{1}), Q (x_{2}, y_{2})$ ，则 $d (P, Q) = |x_{1} - x_{2}| + |y_{1} - y_{2}|$ 叫作 $P ､ Q$ 两点的曼哈顿距离，又称为折线距离或出租车距离等.某同学在上课听了老师对曼哈顿距离的介绍后，课后对它进行了研究.首先，把点P取在特殊直线 $y = x$ 上， $Q$ 取已知定点 $(m, n)$ ，即转化为函数 $f (x) = |x - m| + |x - n|$ （ $m, n$ 为常数）的问题；第二步，把两点取在一般直线上，转化为函数 $f (x) = |a x - m| + |b x - n| (a, b, m, n$ 为常数 $)$ 的问题；第三步，把两点分别取在直线与曲线上，设两点坐标，再求两点曼哈顿距离最值；……
请按该同学研究思路，完成以下问题：

(1)、求函数 $f (x) = |x + 1| + |x - 2|$ 的值域；

(2)、已知关于 $x$ 的函数 $f (x) = |2 x + 1| + |a x - 2|$ 的最小值为2时，求实数 $a$ 的值；

(3)、已知点 $P$ 在直线 $l : 2 x + 3 y - 6 = 0$ 上，点 $Q$ 坐标 $(x, y)$ 满足条件 $x^{2} + 4 y^{2} = 4$ ，求 $P ､ Q$ 两点间曼哈顿距离的最小值.

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13、如图矩形 $O A C B$ 中， $\vec{D A} = \frac{1}{2} \vec{A C}, \vec{A E} = λ \vec{A O}, \vec{B F} = λ \vec{B O}, λ \in [\frac{1}{2}, 1]$ ，直线 $C F$ 与 $D E$ 相互垂直，垂足为点 $P$ .

(1)、求 $\frac{| \vec{A O} |}{| \vec{B O} |}$ 的值；

(2)、若 $| \vec{O A} | = 1$ .设 $\vec{C P} = x \vec{C F}, \vec{D P} = x \vec{D E}$ ，求 $x, y$ 关于 $λ$ 的表达式，并求 $| \vec{O P} |$ 的最大值.

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14、已知三角形内角 $A, B, C$ 对边分别为 $a, b, c$ ，向量 $\vec{m} = (a, \sqrt{3} b), \vec{n} = (sin B, cos A)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $A B = 4, A C = 2$ ，三角形边 $B C$ 上有一点 $D, B D = 2 D C$ ，求 $A D$ 的长；

(3)、角 $A$ 的平分线交 $B C$ 于点 $E$ ，且 $A E = 1$ ，求 $△ A B C$ 面积最小值.

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15、已知函数 $f (x) = a sin x cos x - b {cos}^{2} x + 1$ .

(1)、如果 $a = b = 2$ ，求函数 $f (x)$ 的最小正周期与增区间；

(2)、如果 $a = 4, b = 2$ ，当 $x = x_{0}$ 时，函数 $f (x)$ 取得最大值，求 $tan x_{0}$ 的值.

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16、已知圆锥的轴截面是一个边长为4的正三角形.

(1)、求该圆锥的体积与表面积；

(2)、该圆锥内切球半径为 $R$ ，内接正方体棱长为 $a$ ，求 $R : a$ 的值.

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17、在正四面体ABCD中， $E, F$ 分别为 $A B, B C$ 的中点， $\vec{A G} = \frac{1}{3} \vec{A D}$ ，截面EFG将四面体分成两部分，则体积较大部分与体积较小部分的体积之比是.

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18、古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九䇉都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是 $a, b, c$ ，记 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ，则三角形面积为 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ .已知 $△ A B C$ 中， $a = 5, b = 6, c = 9$ ，则 $△ A B C$ 的内切圆半径 $r$ 为.

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19、已知复数 $z$ 是方程 $x^{2} + 4 x + 5 = 0$ 的一个根，则复数 $z$ 的模 $|z|$ 的值为.

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20、在 $△ A B C$ 中， $A B = \sqrt{3} B C, D$ 是 $A C$ 中点， $\vec{B E} = \frac{1}{3} \vec{B A}, C E$ 与BD交于点F，则下列说法正确的是（）

A、 $|\vec{E F}| = \frac{1}{3} |\vec{E C}|$ B、 $S_{△ B E F} : S_{△ C D F} = 1 : 3$ C、 $\vec{A F} + 2 \vec{B F} + \vec{C F} = \vec{0}$ D、 $24 \cdot \vec{B F} \cdot \vec{E F} = \vec{B A} \cdot \vec{B C}$

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