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相关试卷

1、已知 $\sin β + \cos β = \frac{1}{5}$ ， $β \in (0, π)$ ，则下列各式正确的有（）

A、 $\sin 2 β = - \frac{24}{25}$ B、 $\sin β - \cos β = \pm \frac{7}{5}$ C、 $\cos 2 β = \frac{7}{25}$ D、 $\tan β = - \frac{4}{3}$

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2、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} e^{x}, x < 1 \\ \frac{e^{x}}{x^{2}}, x \geq 1 \end{matrix}$ ，方程 ${[f (x)]}^{2} - a^{2} f (x) = 0$ （ $a > 0$ ）有两个不等实根，则下列选项正确的是（）

A、2是 $f (x)$ 的极大值点 B、函数 $h (x) = f (x) - x$ 无零点 C、a的取值范围是 $(\frac{2}{e}, \frac{e}{2}) \cup [\sqrt{e}, + \infty)$ D、 $\exists x_{1} \in (0, 1)$ ， $x_{2} \in (1, 3)$ ，使 $f (x_{1}) > f (x_{2})$

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3、已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，对任意的 $n \in N^{*}$ ，都有 $3 S_{n} = a_{n} + 64$ ．若 $T_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项积，则 $T_{n}$ 的最大值为（）

A、 $2^{9}$ B、 $2^{14}$ C、 $2^{15}$ D、 $2^{16}$

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4、已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，以其底面圆心为球心，底面半径为半径的球和圆锥表面的交线长为（）

A、 $4 π$ B、 $5 π$ C、 $(4 + 2 \sqrt{3}) π$ D、 $6 π$

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5、某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布 $N (105, σ^{2})$ （ $σ > 0$ ），试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的 $\frac{1}{5}$ ，则此次数学考试成绩在90分到105分（含90分和105分）之间的人数约为（）

A、150 B、200 C、300 D、400

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6、已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间 $(- \infty, 0)$ 上单调递增，若实数a满足 $f (2^{|a - 1|}) > f (- \sqrt{2})$ ，则a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{2})$ B、 $(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{3}{2}, + \infty)$ C、 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ D、 $(\frac{3}{2}, + \infty)$

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7、在复平面内，O为坐标原点，复数 $1 - i$ ， $- 1 + 2 i$ 对应的向量分别是 $\vec{O M}$ ， $\vec{O N}$ ，则 $\vec{M N}$ 对应的复数为（）

A、 $- 2 + 3 i$ B、 $i$ C、 $2 - 3 i$ D、 $- i$

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8、已知全集 $U = A \cup B = {x \in N | 0 \leq x \leq 4}$ ， $A \cap (∁_{U} B) = {1, 2, 3}$ ，则集合 $B =$ （）

A、 $\{0\}$ B、 $\{4\}$ C、 $\{0, 4\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4\}$

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9、如图，某社区有一块空白区域，其中射线 $A P$ ， $A Q$ 是该空白区域的两条边界，点 $B$ 在射线 $A Q$ 上， $A B = 2$ 千米，且 $∠ P A Q = \frac{π}{6}$ .该社区工作人员计划在射线 $A P$ 上选择一点 $C$ ，修建一条道路 $B C$ ，将 $△ A B C$ 区域改造成儿童娱乐场地.

(1)、已知 $∠ A C B = \frac{3 π}{4}$ .
①求道路 $B C$ 的长度；
②求 $△ A B C$ 的面积.

(2)、某工程队通过竞标，获得该社区改造项目的资格，已知改造儿童娱乐场地的利润为4万元每平方千米，修建道路 $B C$ 的利润为2万元每千米，且要求 $∠ A C B$ 不能大于 $\frac{2 π}{3}$ ，求该工程队完成这项改造项目获得的利润的最小值.

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10、在 $△ A B C$ 中， $D$ 是线段 $B C$ 的中点，点 $E$ 在线段 $A C$ 上，线段 $A D$ 与线段 $B E$ 交于点 $P$ ．

(1)、已知 $A C = 6$ ， $A B = 4$ ， $∠ B A C = 60^{\circ}$ ， $\vec{A E} = 2 \vec{E C}$ ．
①用向量 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ 表示向量 $\vec{A D}$ ， $\vec{B E}$ ；
②求 $\vec{A D} \cdot \vec{B E}$ 的值．

(2)、若 $\frac{|\vec{A P}|}{|\vec{A D}|} = \frac{4}{7}$ ，求 $\frac{|\vec{A E}|}{|\vec{E C}|}$ 的值．

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11、已知复数 $z = (1 + i) m^{2} - (2 + i) m - 2 i (m \in R)$ ．

(1)、若 $z$ 是纯虚数，求 $m$ 的值；

(2)、若 $z$ 在复平面内所对应的点在第四象限，求 $m$ 的取值范围．

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12、在锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 $a = 4$ ， $a \neq b$ ，且 $8 cos A = c$ ，则（）

A、角 $C$ 的取值范围是 $(\frac{π}{3}, \frac{π}{2})$ B、 $b$ 的取值范围是 $(4, 8)$ C、 $△ A B C$ 周长的取值范围是 $(4 + 4 \sqrt{2}, 8 + 4 \sqrt{3})$ D、 $\frac{c}{b}$ 的取值范围是 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \sqrt{2})$

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13、已知 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 是复数，则下列命题错误的是（）

A、若 $z_{1} + z_{2} = 0$ ，则 $|z_{1}| = |z_{2}|$ B、若 $z_{1} + z_{2} < 0$ ，则 $z_{1} < - z_{2}$ C、若 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$ D、若 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0$ ，则 $z_{1} = z_{2} = 0$

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14、已知向量 $\vec{a} = (- 4, 2), \vec{b} = (k, 3)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $k =$ （）

A、6 B、 $- 6$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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15、 $\frac{5 - i}{1 + i} =$ （）

A、 $3 - 3 i$ B、 $3 + 3 i$ C、 $2 - 3 i$ D、 $2 + 3 i$

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16、已知函数 $f (x) = x e^{x} - a$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在区间 $[0, 2]$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 有最大值 $- \frac{1}{e} - a$ C、当 $a = 0$ 时， $y = f (x)$ 的图象过 $(1, 0)$ 的切线有且仅有 $2$ 条 D、关于 $x$ 的方程 $f (x) = 0$ 有两个不等实根，则 $a$ 的取值范围是 $(- \frac{1}{e}, + \infty)$

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17、如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥ A B$ ， $P A = A B = 1$ ， $A D = 2$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $B C$ ， $P A$ 的中点．

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $P C D$ ；

(2)、若平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ，求直线 $P D$ 与平面 $D E F$ 所成角的余弦值．

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18、设 $a$ ， $b \in R_{+}$ ，若 $a + 4 b = 4$ ，则 $\frac{\sqrt{a} + 2 \sqrt{b}}{\sqrt{a b}}$ 的最小值为，此时 $a$ 的值为.

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19、我国古代数学典籍九章算术中有一种名为“羡除”的几何体，它由古代的隧道形状抽象而来.如图所示，在五面体 $A B C D E F$ 中， $E F // A D // B C$ ，四边形 $A D E F$ ， $A D C B$ ， $E F B C$ 为等腰梯形，且平面 $A D E F ⊥$ 平面 $A D C B$ .其中 $E F = a$ ， $A D = b$ ， $B C = c$ （ $b > c > a$ ），且 $E F$ 到平面 $A D C B$ 的距离为 $h$ ， $B C$ 和 $A D$ 的距离为 $d$ ，若 $a = 4$ ， $b = 10$ ， $c = 6$ ， $h = 3$ ， $d = 4$ ，则该“羡除”的体积为.

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20、已知集合 $A = \{1, |a - 1|, a + 2\}$ ，且 $2 \in A$ ，则实数 $a$ 的值为．

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