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相关试卷

1、已知曲线 $C :$ $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ ，曲线C在点 $P_{0} (1, 1)$ 处的切线交 $x$ 轴于点 $Q_{1}$ ，过 $Q_{1}$ 作与x轴垂直的直线与C交于点 $P_{1}$ ，曲线C在点 $P_{1}$ 处的切线交x轴于点 $Q_{2}$ ， …，依次下去，得到点列： $Q_{1}$ ， $Q_{2}$ ， $Q_{3}$ ， …， $Q_{n}$ ， …，设 $Q_{n}$ 的横坐标为 $x_{n}$ .

(1)、求证： $x_{n + 1} = 2 x_{n}$ ；

(2)、求数列 $\{n x_{n}\}$ 的前n项和.

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2、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 1$ 在 $x = - 1$ 处取得极值 $6$ .

(1)、求实数 $a, b$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 2, 3]$ 上的最大值和最小值.

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3、等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2025$ ，前n项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{S_{12}}{12} - \frac{S_{10}}{10} = - 2$ ，则 $S_{2025} =$ .

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4、已知 $A_{5}^{x} = 2 A_{6}^{x - 1}, x \in N^{*}$ ，则 $x =$ ．

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5、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{e^{x}}$ ，则下列正确的是（）

A、 $f (x)$ 的极小值为0 B、 $f (x)$ 过 $(0, 0)$ 点的切线方程为 $y = \frac{x}{e}$ C、 $f (x) = \frac{3}{e^{2}}$ 有三个实根 D、 $g (x) = f (x) - a x$ ，当 $0 < x_{1} < x_{2}$ 时， $x_{2}^{2} g (x_{1}) < x_{1}^{2} g (x_{2})$ 恒成立，则a的取值范围是 $a \geq \frac{4}{e^{2}}$

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6、若3男3女排成一排，则下列说法正确的是（）

A、共计有360种不同的排法 B、男生甲在排头或在排尾的排法总数为240种 C、男生甲、乙相邻的排法总数为240种 D、男女生相间排法总数为36种

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 1$ ， $n \in N^{*}$ ，则（）

A、121是数列中的项 B、 $a_{n + 1} - a_{n} = 3^{n}$ C、 $\{a_{n} + \frac{1}{2}\}$ 是等比数列 D、存在 $k \in N^{*}$ ， $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{k}} = \frac{3}{2}$

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8、设 $a$ 为实数，若函数 $f (x) = \{\begin{cases} x - e^{x} + 2, x \leq 0 \\ \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + a, x > 0 \end{cases}$ 有且仅有一个零点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{16}{3})$ B、 $(- \infty, \frac{16}{3}]$ C、 $(\frac{16}{3}, + \infty)$ D、 $[\frac{16}{3}, + \infty)$

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9、已知函数 $f (x) = x \cos x - \sin x$ ，若存在实数 $x \in [0, 2 π]$ ，使得 $f (x) < t$ 成立，则实数 $t$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - π)$ B、 $(- π, + \infty)$ C、 $(0, π)$ D、 $(π, 2 π)$

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10、函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列说法正确的有（）

A、 $x = - 2$ 为函数 $f (x)$ 的一个零点 B、函数 $f (x)$ 在区间 $(- 1, \frac{1}{2})$ 上单调递减 C、 $x = \frac{1}{2}$ 为函数 $f (x)$ 的一个极大值点 D、 $f (- 1)$ 是函数 $f (x)$ 的最大值

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11、对于有穷数列 $A_{0}$ ： $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ ，若存在 $i, j \in {1, 2, 3, \dots, n}$ ，使得 $a_{i} - a_{j} \geq 2$ ，则将数列 $A_{0}$ 进行操作变换T：将 $a_{i}$ 减1， $a_{j}$ 加1，其余项不变，得到数列 $A_{1}$ ，记为 $A_{1} = T (A_{0})$ ．从 $A_{0}$ 开始进行 $m$ 次操作变换 $T$ ，依次得到数列 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， …， $A_{m}$ ，即 $A_{i} = T (A_{i - 1})$ ， $i = 1, 2, \dots, m$ ．

(1)、已知数列 $A_{0}$ ： $- 2$ ， $0$ ， $1$ ， $3$ ，是否可以通过 $m$ 次操作变换 $T$ 得到如下数列？
① $- 4$ ， $2$ ， $1$ ， $2$ ；② $0$ ， $0$ ， $0$ ， $2$ ，
若可以，请写出一种满足题意的 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， …， $A_{m}$ ；若不可以，请说明理由；

(2)、已知数列 $A_{0}$ ： $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 是公差为 $1$ 的等差数列，若从 $A_{0}$ 开始进行 $m$ 次操作变换 $T$ 后得到数列 $A_{m}$ ： $3$ ， $3$ ， $3$ ， $3$ ， $3$ ，求 $m$ 的所有可能值．

(3)、已知数列 $A_{0}$ ： $1$ ， $2$ ， $\dots$ ， $20$ ，将数列 $A_{0}$ 进行 $m$ 次操作变换 $T$ ，直到这种操作不能再进行时为止，求 $m$ 的最大值．

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12、已知函数 $f (x) = x (x - a \ln x - \frac{1}{x})$ ， $a \in R$ ．

(1)、若 $0 \leq a \leq 2$ ，试判断函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 有三个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ （ $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ）．
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）若存在正整数M，使得 $a x_{1} + x_{3} \geq M$ 恒成立，求M的最大值．

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13、三棱锥 $P - A B C$ 中，底面 $△ A B C$ 为等腰直角三角形， $C A = C B = 2 \sqrt{2}$ ， $P A = \sqrt{10}$ ．点P在底面ABC上的射影E是线段AB靠近点A的四等分点．

(1)、求PB与平面PCE所成角的正弦值；

(2)、设AB靠近B的四等分点为F，D是平面ABC内的动点，且C，D在直线AB的两侧，满足 $| D E | + | D F | = 4$ ．试探究是否存在点D使得平面 $P B D ⊥$ 平面PBC？若存在，请求出DE的长度；若不存在，请说明理由．

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14、甲、乙、丙三人各自独立投篮，甲和乙都投中的概率是 $\frac{1}{9}$ ，甲投中而丙未投中的概率是 $\frac{1}{6}$ ，乙投中而丙未投中的概率是 $\frac{1}{6}$ .

(1)、请问三人中哪一位投篮水平较高？并说明理由；

(2)、现将投篮水平较低的两人组成一组（记为 $A$ ），与投篮水平较高的人（记为 $B$ 组）进行投篮比赛，甲、乙、丙各自独立投篮 $2$ 次，且每次投篮的结果互不影响，投中次数较多的一组获胜，求 $B$ 组获胜的概率.

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15、在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A C = 5$ ， $∠ B A C = 60 °$ ．

(1)、求 $\sin ∠ A C B$ ；

(2)、设BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，求 $\cos ∠ M P N$ ．

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16、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{9} - y^{2} = 1$ ， $A, B$ 分别是 $C$ 的左、右顶点，P是双曲线 $C$ 上与 $A, B$ 不重合的一动点，直线 $P A, P B$ 与 $x = 1$ 交于 $M, N$ 两点， $△ P M N$ ， $△ P A B$ 的外接圆半径分别为 $r_{1}$ ， $r_{2}$ ，则 $\frac{r_{1}}{r_{2}}$ 的最小值为．

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17、若函数 $f (x) = 5 \sin (x + θ) + 12 \cos (x + θ)$ 为奇函数，则 $\tan θ =$ ．

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18、已知圆台上下底面半径分别为 $1$ 和 $2$ ，母线与下底面所成角为 $60^{\circ}$ ，则圆台侧面积为．

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19、已知P为抛物线C： $x^{2} = 4 y$ 上一点，F为C的焦点，直线l的方程为 $3 x + 4 y + 6 = 0$ ，则下列说法正确的有（）

A、若 $A (3, 4)$ ，则 $| A P | + | P F | \geq 5$ B、点P到直线l与到直线 $y = - 2$ 的距离之和的最小值为2 C、若存在点P，使得过点P可作两条垂直的直线与圆 $x^{2} + {(y - 4)}^{2} = r^{2}$ 相切，则r的取值范围为 $r \geq \sqrt{6}$ D、过直线l上一点E（点E不在x轴上）作抛物线的两条切线，切线分别交x轴于点A，B， $△ E A B$ 外接圆面积的最小值为 $π$

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20、甲箱中有 $5$ 个红球， $2$ 个白球和 $3$ 个黑球，乙箱中有 $4$ 个红球， $3$ 个白球和 $3$ 个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以 $A_{1}, A_{2}$ 和 $A_{3}$ 表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以 $B$ 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则（）

A、事件 $B$ 与事件 $A_{3}$ 相互独立 B、 $P (A_{1}| B) = \frac{5}{9}$ C、 $P (A_{2} B) = \frac{6}{55}$ D、 $P (B) = \frac{9}{22}$

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