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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥$ 面 $A B C D, P A = A D = \sqrt{2} A B$ ，点 $M$ 是 $P D$ 的中点．

(1)、证明： $A M ⊥ P C$ ；

(2)、设 $A C$ 的中点为 $O$ ，点 $N$ 在棱 $P C$ 上（异于点 $P, C$ ），且 $O N = O A$ ，求直线 $A N$ 与平面 $A C M$ 所成角的余弦值．

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2、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 向圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 作一条切线 $l$ 与渐近线分别交于点 $A, B$ ，当 $|A B| = \sqrt{3} a$ 时，双曲线的离心率是.

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3、如图，已知球的表面积为 $16 π$ ，若将该球放入一个圆锥内部，使球与圆锥底面和侧面都相切，则圆锥的体积的最小值为.

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4、函数 $f (x) = e^{x} + a \sin x, x \in (- π, + \infty)$ ，下列说法不正确的是（）

A、当 $a = - 1$ 时， $f (x) > 0$ 恒成立 B、当 $a = 1$ 时， $f (x)$ 存在唯一极小值点 $x_{0}$ C、对任意 $a > 0, f (x)$ 在 $x \in (- π, + \infty)$ 上均存在零点 D、存在 $a < 0, f (x)$ 在 $x \in (- π, + \infty)$ 上有且只有一个零点

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5、已知函数 $f (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) - \frac{2}{2^{x} + 1}$ ，且 $f (x_{1}) + f (x_{2}) + 2 < 0$ ，则（）

A、 $x_{1} + x_{2} < 0$ B、 $x_{1} + x_{2} > 0$ C、 $x_{1} + x_{2} > - 2$ D、 $x_{1} + x_{2} < - 2$

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6、若 $a = \ln^{2} 6, b = 4 \ln 2 \cdot \ln 3, c = {(1 + \ln 3)}^{2}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < b < c$ C、 $c < b < a$ D、 $b < a < c$

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7、现将5个代表团人员安排至甲､乙､丙三家宾馆入住，要求同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住.若这5个代表团中 $A, B$ 两个代表团已经入住甲宾馆且不再安排其他代表团入住甲宾馆，则不同的入住方案种数为（）

A、6 B、12 C、16 D、18

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8、已知函数 $f (x) = \ln (x + 1) + \frac{1}{2} x^{2}$ .

(1)、若函数 $h (x) = f (x) - a {(x + 1)}^{2}$ 不单调，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若曲线 $y = f (x)$ 与直线 $y = a x$ 有且仅有一个交点，求实数 $a$ 的取值范围.

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9、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} + (a - 1) x - \ln x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a > 0$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $[1, 2]$ 的最小值 $g (a)$ .

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10、已知函数 $f (x) = x^{2} \ln x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的图象在点 $(e, f (e))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的极值；

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11、设满足方程 ${(2 m a e^{a} - b)}^{2} + {(c - m e^{c} - d)}^{2} = 0$ 的点 $(a, b), (c, d)$ 的运动轨迹分别为曲线 $C_{1}, C_{2}$ ，若曲线 $C_{1}, C_{2}$ 有两个交点（其中 $m \in R, e = 2.71828 \dots$ 是自然对数的底数），则实数 $m$ 的取值范围为.

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12、已知函数 $f (x) = x \ln x + a x^{2}$ 有两个极值点，则实数 $a$ 的取值范围为.

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13、设函数 $f (x) = e^{x} {(x - 1)}^{2} (x - 2)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 有两个极大值点 B、 $f (x)$ 有两个极小值点 C、 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极大值点 D、 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极小值点

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14、已知函数 $f (x) = a^{x} + b^{x} - 2$ 有且仅有一个零点，其中 $0 < a < 1 < b$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{8}{b}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $8$ D、 $8 \sqrt{2}$

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15、 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上的导函数为 $f^{'} (x), x f^{'} (x) > 2 f (x)$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $2024^{2} f (2025) > 2025^{2} f (2024)$ B、 $2024^{2} f (2025) < 2025^{2} f (2024)$ C、 $2024 f (2025) > 2025 f (2024)$ D、 $2024 f (2025) < 2025 f (2024)$

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16、曲线 $y = x e^{x} - x$ 在点 $P$ 处切线的斜率为 $- 1$ ，则 $P$ 的坐标为（）

A、 $(- 1, - 1)$ B、 $(- 1, 1 - \frac{1}{e})$ C、 $(1, e - 1)$ D、 $(1, 2 e - 1)$

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17、函数 $y = \frac{cos x}{x}$ 的导数是（）

A、 $- \frac{sin x}{x^{2}}$ B、 $- sin x$ C、 $- \frac{x sin x + cos x}{x^{2}}$ D、 $- \frac{x cos x + cos x}{x^{2}}$

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18、某电动自行车的耗电量 $y$ 与速度 $x$ 之间的关系式为 $y = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{39}{2} x^{2} - 40 x (x > 0)$ ，为使其耗电量最小，则其速度为（）

A、20 B、30 C、40 D、50

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19、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} = 4$ ，则 $a_{5} - 3 a_{3} =$ （）

A、 $- 8$ B、 $- 6$ C、 $- 4$ D、 $- 2$

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20、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为2，且经过点 $P (- 1, \frac{3}{2})$ ， M为C的右顶点，过点P的直线l与C交于点 $Q （$ 异于点 $M ） .$

(1)、求C的标准方程；

(2)、求 $△ P Q M$ 面积的最大值.

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