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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |\log_{2} x|, 0 < x < 4, \\ 2 \sin (\frac{π}{3} x - \frac{5 π}{6}), 4 \leq x \leq 10. \end{array}$ 若函数 $y = f (x) - a$ （ $a \in R$ ）恰有 $4$ 个零点，分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}$ 的取值范围是（）

A、 $(15, \frac{81}{4})$ B、 $(16, \frac{81}{4})$ C、 $(15, \frac{73}{4})$ D、 $(16, \frac{73}{4})$

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2、若函数 $f (x) = 3 \sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $|φ| < π$ ）的图象过点 $(\frac{2 π}{3}, - 3)$ ，相邻两条对称轴间的距离是 $\frac{π}{2}$ ，则下列四个结论中，正确的结论是（）

A、 $ω = 2$ B、 $φ = \frac{π}{6}$ C、 $f (x + \frac{π}{6})$ 为偶函数 D、 $f (x + \frac{π}{12})$ 为奇函数

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3、一个函数的图象如图所示，则它的表达式可能为（）

A、 $y = x^{2} \sin x$ B、 $y = \frac{\sin x}{x^{2} + 1}$ C、 $y = x^{2} \cos x$ D、 $y = \frac{\cos x}{x^{2} + 1}$

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4、若 $f (x) = \cos (x - \frac{π}{3})$ 在区间 $[- a, a]$ 上单调递增，则实数a的最大值为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、π

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5、函数 $y = \cos (2 π x + \frac{π}{6})$ 的最小正周期是（　　）

A、1 B、2 C、 $π$ D、 $2 π$

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6、甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌 $X$ 次，则 $P (X = 4) =$ （）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{5}{32}$ C、 $\frac{5}{64}$ D、 $\frac{11}{64}$

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7、设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $(a + c) \cdot sin (B + C) = (b - c) \cdot (sin B + sin C)$ ， $b = \sqrt{3}$ ．

(1)、求角 $B$ ；

(2)、如图所示，点 $D$ 是 $△ A B C$ 外一点，若 $∠ B A C = ∠ D A C = θ$ ，且 $∠ A D C = \frac{π}{3}$ ，记 $△ B C D$ 的周长为 $f (θ)$ ，求 $f (θ)$ 的解析式．

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8、平面几何中有如下结论：“三角形 $A B C$ 的角平分线 $A D$ 分对边所成的两段之比等于角的两边之比，即 $\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}$ ． ”已知 $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $A C = 1$ ， $A D$ 为角平分线．过点 $D$ 作直线交 $A B, A C$ 的延长线于不同两点 $E, F$ ，且满足 $\vec{A E} = x \vec{A B}$ ， $\vec{A F} = y \vec{A C}$ ，

(1)、求 $\frac{1}{x} + \frac{3}{y}$ 的值，并说明理由；

(2)、若 $∠ B A C = 120 °$ ，求 $\vec{E F} \cdot \vec{B C}$ 的最小值．

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9、已知非零向量 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}$ 满足 $|\overset{⃑}{a}| = 4 |\overset{⃑}{b}|$ ，且 $(\overset{⃑}{a} - 2 \overset{⃑}{b}) ⊥ \overset{⃑}{b}$ ．
（1）求 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 的夹角；
（2）若 $|\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}| = \sqrt{21}$ ，求 $|\overset{⃑}{b}|$ 的值．

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10、函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $φ =$ ；将函数 $f (x)$ 的图象沿x轴向右平移 $b (0 < b < \frac{π}{2})$ 个单位后，得到一个偶函数的图象，则 $b =$ .

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11、已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ， $|\vec{a}| = 3$ ， $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $|\vec{b}| =$ .

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12、水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的特征.如图是一个半径为 $R$ 的水车，一个水斗从点 $A (3, - 3 \sqrt{3})$ 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过 $t$ 秒后，水斗旋转到点 $P$ ，设点 $P$ 的坐标为 $(x, y)$ ，其纵坐标满足 $y = f (t) = R \sin (ω t + φ)$ （ $t \geq 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ ），则下列叙述正确的是（）

A、 $φ = - \frac{π}{3}$ B、当 $t \in (0, 60]$ 时，函数 $y = f (t)$ 单调递增 C、当 $t \in (0, 60]$ 时， $|f (t)|$ 的最大值为 $3 \sqrt{3}$ D、当 $t = 100$ 时， $|P A| = 6$

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13、三角形 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，下列条件能判断 $△ A B C$ 是钝角三角形的有（）

A、 $a = 7$ ， $b = 5$ ， $c = 4$ B、 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} > 0$ C、 $\frac{a - b}{c + b} = \frac{\sin C}{\sin A + \sin B}$ D、 $b^{2} \sin^{2} C + c^{2} \sin^{2} B = 2 b c \cos B \cos C$

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14、已知向量 $\vec{a} = (\cos α, \sin α)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ，则下列命题正确的是（）

A、 $| \overset{⃑}{a} - \vec{b} |$ 的最大值为 $\sqrt{5} + 1$ B、若 $| \overset{⃑}{a} + \vec{b} | = | \overset{⃑}{a} - \vec{b} |$ ，则 $tan α = \frac{1}{2}$ C、若 $\overset{⃑}{e}$ 是与 $\vec{b}$ 共线的单位向量，则 $\vec{e} = (\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ D、当 $f (α) = \overset{⃑}{a} \cdot \vec{b}$ 取得最大值时， $tan α = \frac{1}{2}$

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15、要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象

A、向左平移个单位 B、向左平移个单位 C、向右平移个单位 D、向右平移个单位

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16、已知向量 $\vec{a} = (1, 1)$ ， $\vec{b} = (1, - 1)$ ，若 $(\vec{a} + λ \vec{b}) / / (μ \vec{a} + \vec{b})$ ，则（）

A、 $λ + μ = 1$ B、 $λ + μ = - 1$ C、 $λ μ =1$ D、 $λ μ = - 1$

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17、若 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (x, 3)$ 且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$ ，则 $x =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、10

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18、函数 $f (x) = \ln x + \frac{1}{x} - 2$ ，则（）

A、 $f^{'} (x) = \frac{x - 1}{x^{2}}$ B、 $f (x)$ 的单调递增区间为 $(1, + \infty)$ C、 $f (x)$ 最大值为 $- 1$ D、 $f (x)$ 有两个零点

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19、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $6, E$ 是 $A B$ 的中点， $F$ 是 $B C$ 边上靠近点 $B$ 的三等分点， $A F$ 与 $D E$ 交于点 $M$ ．

(1)、求 $∠ E M F$ 的余弦值．

(2)、若点 $P$ 自 $A$ 点逆时针沿正方形的边运动到 $C$ 点，在这个过程中，是否存在这样的点 $P$ ，使得 $E F ⊥ M P$ ？若存在，求出 $M P$ 的长度，若不存在，请说明理由．

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20、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且向量 $\vec{m} = (a ， - b)$ 与

$\vec{n} = (\sqrt{3} \cos A, \sin B)$ 平行.

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{7}$ ， $b + c = 3$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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