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相关试卷

1、某大学开设选修课，要求学生根据自己的专业方向以及自身兴趣从6个科目中选择3个科目进行研修．已知某班级a名学生对科目的选择如表所示，则 $a, b$ 的一组值可以是．
科目
国际金融
统计学
市场管理
历史
市场营销
会计学
人数
24
28
14
15
19
b

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2、算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位､十位､百位､千位……，上面一粒珠子(简称上珠)代表5，下面一粒珠子(简称下珠)代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠､十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位､十位､百位､千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件 $A =$ “表示的四位数能被3整除”， $B =$ “表示的四位数能被5整除”，则（）

A、 $P (A) = \frac{3}{8}$ B、 $P (B) = \frac{1}{3}$ C、 $P (A \cup B) = \frac{11}{16}$ D、 $P (A B) = \frac{3}{16}$

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3、 ${(x^{2} - x + y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{3} y^{3}$ 的系数为（）

A、30 B、 $- 30$ C、20 D、 $- 20$

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4、已知a为实数，则“ $a + \frac{1}{a} \geq 2$ ”是“ $0 < a \leq 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5、在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A P} = 2 \vec{P B}$ ，则 $\vec{P D} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{A B} + \vec{A D}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{A B} + \vec{A D}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \vec{A D}$ D、 $- \frac{1}{3} \vec{A B} + \vec{A D}$

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6、已知复数 $z = 1 + 2 i$ ，则复数 $z^{2} - 8 i$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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7、设集合 $P = \{x |{log}_{2} x < 2\}$ ， $Q = \{x |x^{2} - 2 x - 3 < 0\}$ ，那么 $P \cap Q =$ （）

A、 $\{x |- 1 < x < 3\}$ B、 $\{x |0 < x < 3\}$ C、 $\{x |- 3 < x < 1\}$ D、 $\{x |0 < x < 1\}$

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8、极点与极线是法国数学家吉拉德・迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，极点 $P (x_{0}, y_{0})$ （不是坐标原点）对应的极线为 $l_{P} : \frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ .已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为 $6 \sqrt{2}$ ，左焦点与抛物线 $y^{2} = - 12 x$ 的焦点重合，对于椭圆 $E$ ，极点 $P (- 6, 0)$ 对应的极线为 $l_{P}$ ，过点 $P$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，在极线 $l_{P}$ 上任取一点 $Q$ ，设直线 $M Q$ ， $N Q$ ， $P Q$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ （ $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ 均存在）.

(1)、求极线 $l_{P}$ 的方程；

(2)、求证： $k_{1} + k_{2} = 2 k_{3}$ ；

(3)、已知过点 $Q$ 且斜率为2的直线与椭圆 $E$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，直线 $P A$ ， $P B$ 与椭圆 $E$ 的另一个交点分别为 $C$ ， $D$ ，证明直线 $C D$ 恒过定点，并求出定点的坐标.

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9、自然数 $2^{2023}$ 的位数为（参考数据： $\lg 2 \approx 0.3010$ ）（）

A、607 B、608 C、609 D、610

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10、某学校有甲、乙两家餐厅，对于学生的午餐就餐情况根据以往的统计调研分析可以得出如下结论：前一天选择甲餐厅就餐的同学第二天选择甲餐厅就餐的概率是 $\frac{2}{3}$ ，选择乙餐厅就餐的概率为 $\frac{1}{3}$ ﹔前一天选择乙餐厅就餐的同学第二天选择甲餐厅就餐的概率是 $\frac{1}{2}$ ，选择乙餐厅就餐的概率为 $\frac{1}{2}$ ，如此往复．假设所有同学开学第一天中午等可能随机选择一家餐厅就餐．

(1)、第一天中午某班3位同学去餐厅就餐，求这3位同学中至少有1位同学去甲餐厅就餐的概率；

(2)、求w同学与s同学第二天中午在同一餐厅就餐的概率；

(3)、假设该学校有2000名学生，试估计一星期后中午在甲餐厅就餐的学生人数．

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11、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) ，$ 其中 $ω > 0, φ \in (0, \frac{π}{2})$ ．从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知条件，求：
条件①：函数 $f (x)$ 最小正周期为 $π$ ；
条件②：函数 $f (x)$ 图像关于点 $(- \frac{π}{6}, 0)$ 对称；
条件③：函数 $f (x)$ 图像关于 $x = \frac{π}{12}$ 对称．

(1)、 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 的最大值和最小值．

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12、某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t( $0 \leq t \leq 24$ ，单位：小时)呈周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如表：
t/时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/米
1.0
1.4
1.0
0.6
1.0
1.4
0.9
0.6
1.0

(1)、从 $y = a t + b$ ， $y = A \sin (ω t + φ) + b$ ， $y = \cos (ω t + φ)$ 中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；

(2)、如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．

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13、已知函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{6})$ .
$2 x - \frac{π}{6}$
$0$

$2 π$
$x$

$f (x)$

(1)、请用“五点法”画出函数 $f (x)$ 在一个周期上的图象；

(2)、若 $f (\frac{α}{2}) = \frac{1}{3}$ ，且 $α \in (- \frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ ，求 $\sin α$ 的值.

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14、某人在静水中游泳，速度为 $4 \sqrt{3}$ 千米/小时，现在他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．

(1)、若他沿垂直于岸边的方向游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？

(2)、他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？

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15、已知 $tan α = 2$ .

(1)、求 $tan 2 α$ 的值；

(2)、求 $\frac{2 sin (π + α) cos (- 2 π - α)}{{sin}^{2} (- α) - {sin}^{2} (\frac{3 π}{2} - α)}$ 的值.

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16、使得 $\tan m ° = \frac{\sin 1 ° + \cos 1 °}{\sin 1 ° - \cos 1 °}$ 成立的最小正数m的值为

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17、在 $△ A B C$ 中，有 $2 \sin (A + B) - 1 = \sqrt{\frac{1 - \cos 2 C}{2}}$ ，试判断 $△ A B C$ 的形状．

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18、在 $△ A B C$ 中， $|\vec{A B}| = |\vec{B C}| = |\vec{C A}| = 1$ ，则 $|\vec{A B} - \vec{B C}| =$ ．

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19、一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每30秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点 $P_{0}$ ）开始计时，则（）

A、点P第一次到达最高点需要10秒 B、当水轮转动35秒时，点P距离水面2米 C、当水轮转动25秒时，点P在水面下方，距离水面2米 D、点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为 $h = 4 \sin (\frac{π}{30} t + \frac{π}{6}) + 2$

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20、（多选）已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 皆为非零向量，下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 反向，且 $|\vec{a}| > |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 同向 B、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 反向，且 $|\vec{a}| > |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 同向 C、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 同向，则 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 同向 D、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 同向，则 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 同向

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科目	国际金融	统计学	市场管理	历史	市场营销	会计学
人数	24	28	14	15	19	b

t/时	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y/米	1.0	1.4	1.0	0.6	1.0	1.4	0.9	0.6	1.0

$2 x - \frac{π}{6}$	$0$	$2 π$
$x$
$f (x)$