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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $\frac{c}{a} = \frac{1 + cos C}{2 - cos A}, c = 4$ ， $C = \frac{π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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2、设 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 是单位向量，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} ＝ 0$ ，则 $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{c})$ 的最小值为．

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3、数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点 $O, G, H$ 分别为三角形 $A B C$ 的外心､重心､垂心，且 $M$ 为 $B C$ 的中点，则（）

A、 $\vec{A H} = 2 \vec{O M}$ B、 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ C、 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = |\vec{O C}|$ D、 $\vec{A G} = \frac{1}{3} \vec{A O} + \frac{2}{3} \vec{A H}$

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4、在 $△ A B C$ 中，下列结论中，正确的是（）

A、若 $cos 2 A = cos 2 B$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形 B、若 $\sin A > \sin B$ ，则 $A > B$ C、若 $A B^{2} + A C^{2} > B C^{2}$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 D、若 $A = 60^{°}, A C = 4$ ，且结合BC的长解三角形，有两解，则BC长的取值范围是 $(2 \sqrt{3}, + \infty)$

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5、已知非零向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 满足 $(\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，且 $|\vec{A B} - \vec{A C}| = 2 \sqrt{2}$ ， $|\vec{A B} + \vec{A C}| = 6 \sqrt{2}$ ，点 $D$ 是 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上的动点，则 $\vec{D B} \cdot \vec{D C}$ 的最小值为（）

A、－1 B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $- \frac{1}{5}$ D、 $- \frac{7}{8}$

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6、已知 $△ A B C$ 满足 $\vec{A B} ⊥ \vec{A C}$ ， $\vec{A M} = \frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ ，且向量 $\vec{B A}$ 在向量 $\vec{B C}$ 上的投影向量为 $\frac{3}{4} \vec{B C}$ ，则 $tan ∠ C M A =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、2

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7、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $C = \frac{π}{3}$ ，若 $\vec{m} = (c - \sqrt{6}, a - b)$ ， $\vec{n} = (a - b, c + \sqrt{6})$ ，且 $\vec{m} / / \vec{n}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、3 B、 $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、3 $\sqrt{3}$

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8、G是 $△ A B C$ 的重心，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若 $a \vec{G A} + b \vec{G B} + \frac{\sqrt{3}}{3} c \vec{G C} = \vec{0}$ ，则角 $A =$ （）

A、90° B、60° C、45° D、30°

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9、在 $△ A B C$ 中， $a = 3 \sqrt{3}$ ， $b = 3$ ， $A = \frac{π}{3}$ ，则 $B$ 为（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ 或 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{4}$

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10、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} + \vec{a} | - | \vec{b} - \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{c} + \vec{a} | = 1$ ，则 $| \vec{c} - \vec{b} |$ 的最小值为.

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11、已知 $f (x)=[ln x +ln(2π− x)]⋅sin x$ ，则下列结论不正确的是（）

A、 $f (x +π)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 有3个零点 D、 $∀ x ∈ (0, π]$ ， $f (x)⩽2lnπ$

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12、已知复数数列 $\{z_{n}\}$ 满足 $z_{1} = 1$ ， $z_{n + 1} = \bar{z_{n}} + 1 + n i$ ，其中 $n = 1,2, \cdot \cdot \cdot$ ，其中 $i$ 是虚数单位， $\bar{z_{n}}$ 表示 $z_{n}$ 的共轭复数，则 $z_{2025}$ 的值为（）

A、 $2025 + 4098600 i$ B、 $4049 - 2024 i$ C、 $2025 + 1012 i$ D、 $4049 + 2024 i$

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13、已知集合 $A = {- 1, 0, 4}$ ， $B = \{x ∣ x^{2} \in A, x \in R\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${- 2, - 1, 0, 2, 4}$ B、 ${- 1, 0, 1, 4, 16}$ C、 ${- 1, 0, 2, 4}$ D、 ${0, 1, 16}$

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14、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为整数，其公差 $d \neq 0$ ， $a_{5} = 6$ .
（Ⅰ）若 $a_{2} \cdot a_{10} > 0$ ，求 $d$ 的值；
（Ⅱ）若 $a_{3} = 2$ ，且 $a_{3}$ ， $a_{5}$ ， $a_{n_{1}}$ ， $a_{n_{2}}$ ， …， $a_{n_{t}}$ ， …（ $5 < n_{1} < n_{2} < \dots < n_{t} < \dots$ ）成等比数列，求 $n_{t}$ ；
（Ⅲ）若 $a_{3}$ ， $a_{5}$ ， $a_{n_{1}}$ ， $a_{n_{2}}$ ， …， $a_{n_{t}}$ ， …（ $5 < n_{1} < n_{2} < \dots < n_{t} < \dots$ ）成等比数列，求 $n_{1}$ 的取值集合.

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15、已知O为坐标原点，双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，且过点 $(\frac{\sqrt{5}}{2}, 1)$ .

(1)、求C的标准方程；

(2)、过C的右焦点F的直线 $l_{1}$ 与双曲线C的左、右两支分别交于两点A、B，点Q是线段 $A B$ 的中点，过点F且与 $l_{1}$ 垂直的直线 $l_{2}$ 交直线 $O Q$ 于M点，点N满足 $\vec{M N} = \vec{M A} + \vec{M B}$ ；
①证明：点M在一条定直线上；
②求四边形 $M A N B$ 面积的最小值.

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16、在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $S$ ，且 $4 S = \sqrt{3} (a^{2} + b^{2} - c^{2})$ ．
（1）求角 $C$ 的大小；
（2）若 $f (x) = 4 \sin x \cos (x + \frac{π}{6}) + 1$ ，且当 $x = A$ 时， $f (x)$ 取得最大值 $b$ ，试求 $S$ 的值．

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17、已知函数 $f (x) = \ln x - a x + (2 a - 1)$ ， $a \in R$

(1)、若 $a = 2$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $y = f (x)$ 的单调性；

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18、袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球.现从中不放回地摸取2个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为.

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19、已知点 $F$ 是抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点， $A B$ ， $C D$ 是经过点 $F$ 的弦且 $A B ⊥ C D$ ，直线 $A B$ 的斜率 $k > 0$ ， $B$ ， $C$ 两点在 $x$ 轴上方， $O$ 为坐标原点，则下列结论中正确的是（）

A、 $\vec{O C} \cdot \vec{O D} = - \frac{3}{4} p^{2}$ B、四边形 $A C B D$ 面积的最小值为 $16 p^{2}$ C、 $\frac{1}{|A B|} + \frac{1}{|C D|} = \frac{1}{2 p}$ D、若 $|A F| \cdot |B F| = 4 p^{2}$ ，则直线 $C D$ 的斜率为 $- \sqrt{3}$

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20、已知 $p : x \geq n$ ， $q : 6 + 7 x - 3 x^{2} < 0$ ，下列给出的实数 $n$ 的值，能使p是q的充分不必要条件的是（）

A、 $n = 3$ B、 $n = \frac{7}{2}$ C、 $n = 4$ D、 $n$ =2025

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