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相关试卷

1、已知函数 $h (x) = e^{x}$ （e是自然对数底数），函数 $y = φ (x)$ 的图象与函数 $y = h (x)$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称．令 $f (x) + g (x) = h (x)$ ，其中 $f (x)$ ， $g (x)$ 分别为奇函数、偶函数．

(1)、求 $y = h (x) φ (x)$ 在 $[1, e]$ 上的最大值；

(2)、求 $g (x)$ ，并证明 $\frac{g (x_{1}) + g (x_{2})}{2} \geq g (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ ；

(3)、求证： $δ (x) = φ (x) + φ (x + 2) + x$ 仅有1个零点 $x_{0}$ ，且 $φ (e x_{0}) < h (x_{0} + \ln x_{0})$ ．

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A D / / B C$ ， $A B = B C = 2$ ， $A D = 4$ ．

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若异面直线 $P B$ 与 $C D$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ ，求点B到平面 $P C D$ 的距离．

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3、如图，圆的内接四边形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{3}$ ， $A D = 2 \sqrt{3}$ ， C为圆周上一动点， $∠ B C D = \frac{π}{3}$ ．

(1)、若 $C D$ 为直径，求四边形 $A B C D$ 的面积；

(2)、求四边形 $A B C D$ 的周长的最大值．
（参考结论：圆的内接四边形对角互补．）

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4、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $b (\cos A + \sqrt{3} \sin A) = a + c$ ．

(1)、求B；

(2)、若 $a = 2$ ， $c = 5$ ， $A C$ ， $A B$ 边上的中线 $B E$ ， $C F$ 相交于点M．
（ⅰ）求 $B E$ ；
（ⅱ）求 $C M$ ．

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5、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，对任意实数x，y都有 $|\vec{a} - x \vec{b}| \geq |\vec{a} - \vec{b}|$ ， $|\vec{a} - y \vec{c}| \geq |\vec{a} - \vec{c}|$ 成立．若 $|\vec{a}| = 2$ ，则 $\vec{b} \cdot (\vec{c} - \vec{a})$ 的最大值是．

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6、若 $\sin α + \cos α = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $\tan α + \frac{1}{\tan α} =$ ．

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7、在 $△ A B C$ 中，若 $a = \sqrt{2}$ ， $∠ A = \frac{π}{6}$ ， $cos C = \frac{1}{3}$ ，则 $c =$

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8、“阿基米德多面体”也称半正多面体，又多个不全相同正多边形围成的多面体，体现了数学的对称之美．如下图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、6个面为正方形的一种半正多面体．已知 $A B = \sqrt{2}$ ，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（）

A、该半正多面体的表面积是 $12 + 4 \sqrt{3}$ B、直线 $B F$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为45° C、该半正多面体有外接球，且它的表面积为 $8 π$ D、该半正多面体有内切球，且它的表面积为 $4 π$

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9、图中的左图为等大的3个灰色正方体和15个白色正方体所组成的多面体，其可以切割为①、②和③三个小多面体，则③代表的多面体可能是（）

A、 B、 C、 D、

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10、青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足： $L = 5 + \lg V$ ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.8，则其视力的小数记录法的数据为（）（ $\sqrt[5]{10} \approx 1.585$ ）

A、 $1.0$ B、 $0.8$ C、 $0.6$ D、 $0.5$

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11、若复数z满足 $z (1 - 2 i) = 3 + 4 i$ （其中i为虚数单位），则z的虚部是（）

A、2i B、 $- 2 i$ C、2 D、 $- 2$

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12、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x ||x - 1 | \leq 1\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $[0, 2]$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(- \infty, 0) \cup (2, + \infty)$

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13、若直线 $x + 2 y - 2 = 0$ 经过椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为．

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14、已知一个黑色袋子里装有2个红球，4个白球，这些球除颜色不同外，其余均相同，甲同学每次从袋子中任取一个球，不放回，直到把两个红球都取出来即终止，记此时袋子里剩余球的个数为X．

(1)、求甲同学取球两次即终止的概率；

(2)、求随机变量X的分布列及期望．

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15、终边在直线 $y = x$ 上的角 $α$ 的集合是．（用弧度制表示）

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16、已知 $2 + \log_{2} x = 3 + \log_{3} y = 5 + \log_{5} z$ ，则x，y，z的大小关系不可能是（）

A、 $x > y > z$ B、 $x > z > y$ C、 $y > x > z$ D、 $y > z > x$

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17、如图，在棱长为 $4$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为棱 $B B_{1}$ 的中点，点 $Q$ 满足 $\vec{C_{1} Q} = λ \vec{C_{1} B_{1}} + μ \vec{C_{1} C} (λ \in [0, 1], μ \in [0, 1])$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $A C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} P D$ B、若 $D_{1} Q //$ 平面 $A_{1} P D$ ，则动点 $Q$ 的轨迹长度为 $2 \sqrt{2}$ C、若 $λ + μ = \frac{1}{2}$ ，则四面体 $D P Q A_{1}$ 的体积为定值 D、平面 $A_{1} P D$ 截正方体的截面面积为 $18$

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18、已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，上下顶点分别为 $B_{1}$ 、 $B_{2}, △ B_{1} F_{1} F_{2}$ 是面积为 $\sqrt{3}$ 的正三角形，过焦点的直线交椭圆 $Γ$ 于 $P$ 、 $Q$ 两点（ $P$ 、 $Q$ 分别在第一、四象限）.

(1)、求椭圆 $Γ$ 的离心率；

(2)、已知点 $M (0, m)$ ， $m > 0$ ，求椭圆 $Γ$ 上的动点 $R$ 到点 $M$ 的最大距离；

(3)、求四边形 $B_{1} B_{2} Q P$ 面积的取值范围.

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19、二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二进制数 ${(a_{0} a_{1} a_{2} \dots a_{k})}_{2}$ ( $k \in N^{*}$ ）对应的十进制数记为 $m_{k}$ ，即 $m_{k} = a_{0} \times 2^{k} + a_{1} \times 2^{k - 1} + ... + a_{k - 1} \times 2 + a_{k} \times 2^{0}$ $，$ 其中 $a_{0} = 1$ ， $a_{i} \in \{0 ， 1\} （ i = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ， k ）$ ，则在 $a_{0} {， a}_{1} {， a}_{2} ， \dots a_{8}$ 中恰好有2个0的所有二进制数 ${(a_{0} a_{1} ... a_{8})}_{2}$ 对应的十进制数的总和为（）

A、1910 B、1990 C、12252 D、12523

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20、有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同．某人做摸球答题游戏．规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题．若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐．此人答对每一道题目的概率均为 $\frac{1}{2}$ ．当甲罐内无球时，游戏停止．假设开始时乙罐无球．

(1)、若此人 $i$ 次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各 $1$ 个的概率记为 $p_{i}$ ，求 $p_{2}$ ， $p_{3}$ ；

(2)、该游戏在第几次停止的概率最大，请说明理由．

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