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相关试卷

1、若非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2 |\vec{b}|$ ，且向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量是 $- \frac{1}{4} \vec{a}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $π$

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2、已知函数 $f (x) = \sin (2 ω x + \frac{π}{3})$ （ $ω > 0$ ），若 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = f^{2} (x) - a f (x) + \frac{a}{4}$ 在 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$ 上有三个不同零点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$
①求实数a的取值范围；
②求 $2 x_{1} + x_{2} > - \frac{π}{4}$ ，求实数a的取值范围.

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3、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图， $P$ 是图象的最高点， $Q$ 为图象与 $x$ 轴的交点， $O$ 为坐标原点，且 $P$ 点坐标为 $(\frac{1}{2}, 1)$ ， $|\overset{⃑}{O Q}| = 2$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的解析式；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 图象向右平移1个单位后得到函数 $y = g (x)$ 的图象，当 $x \in [0, 2]$ 时，求函数 $h (x) = f (x) \cdot g (x)$ 的最大值.

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4、一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里.船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动.

(1)、若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离；

(2)、若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向（即船头方向与正北方向的夹角 $θ$ ），以及到达B点所需时间.

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5、已知 $θ \in (0, π)$ ，且 $\sin θ + \cos θ = \frac{1}{5}$ .

(1)、求 $\sin θ - \cos θ$ 的值；

(2)、求 $\frac{1 + \sin 2 θ - \cos 2 θ}{1 + \tan θ}$ 的值.

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6、在四边形ABCD中， $\vec{B C} = 2 \vec{A D}$ 点P是四边形ABCD所在平面上一点，满足 $\vec{A B} + 2 \vec{P A} + 7 \vec{P B} + \vec{P C} + 8$ $\vec{P D} = \vec{0}$ ，点Q为线段AB的中点.则 $\frac{|\vec{P Q}|}{|\vec{A D}|} =$ .

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7、密位广泛用于航海和军事，我国采取的“密位制”是6000密位制，即将一个圆周分成6000等份，每一等份是一个密位，那么60密位等于rad.

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8、如图所示，已知角 $α$ ， $β$ （ $0 < α < β < \frac{π}{2}$ ）的始边为 $x$ 轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为 $A$ ， $B$ ， $M$ 为线段 $A B$ 的中点，点 $C$ 坐标为 $(\cos \frac{α + β}{2}, \sin \frac{α + β}{2})$ ，记 $f (α, β) = |\vec{O M}| + \cos (β - α) -$ $\frac{\sin α + \sin β}{\cos \frac{β - α}{2}}$ ，则（）

A、 $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{O C}$ B、若 $|\vec{O A} + \vec{O B}| = \sqrt{3}$ ，则 $∠ O A B = \frac{π}{3}$ C、点M的坐标为 $(\cos \frac{α + β}{2} \cos \frac{β - α}{2}, \sin \frac{α + β}{2} \cos \frac{β - α}{2})$ D、若 $f (α, β) = 0$ ，则 $α + β = \frac{π}{3}$

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9、已知函数 $f (x) = {cos}^{4} x - {sin}^{4} x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的对称中心为 $(k π + \frac{π}{2}, 0), (k \in Z)$ C、 $f (x)$ 的对称轴为直线 $x = \frac{k π}{2}, (k \in Z)$ D、 $f (x)$ 的单调递增区间为 $[k π - \frac{π}{2}, k π], (k \in Z)$

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10、（多选）下列说法正确的是（）

A、零向量是没有方向的向量 B、零向量的长度为0 C、相等向量的方向相同 D、同向的两个向量可以比较大小

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11、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ 的图象的一部分如图1所示，则图2中的函数图象对应的函数解析式为（）

A、 $y = f (2 x + \frac{1}{2})$ B、 $y = f (2 x + 1)$ C、 $y = f (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})$ D、 $y = f (\frac{x}{2} + 1)$

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12、已知 $θ$ 是第一象限角，且 $\sin (θ - \frac{π}{7}) = \frac{3}{5}$ ，则 $\cos (θ + \frac{5 π}{14}) =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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13、在梯形 $A B C D$ 中，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$ ，若 $\vec{A B} = - 2 \vec{C D}$ ，则 $\vec{A C} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b}$ C、 $\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$

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14、已知扇形的半径为 $2$ ，圆心角为 $\frac{π}{3}$ ，则该扇形的面积为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{4 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{3}$

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15、向量 $\vec{A B} + (\vec{O M} + \vec{B O}) + \vec{M B} =$ （）

A、 $\vec{B C}$ B、 $\vec{A B}$ C、 $\vec{A C}$ D、 $\vec{A M}$

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16、“ $α = β$ ”是“ $\sin α = \sin β$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、 $\frac{4 π}{3}$ 是（）

A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角

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18、已知函数 $f_{n} (x) = {sin}^{n} x + {cos}^{n} x (n \in N_{+})$ ．

(1)、若 $f_{4} (x_{0}) = \frac{2}{3}$ ，求 $f_{6} (x_{0})$ 的值；

(2)、试求 $f_{2} (x)$ ， $f_{4} (x)$ ， $f_{6} (x)$ 的取值范围，猜想当 $n = 2 k$ ， $k \in N_{+}$ 时， $f_{n} (x)$ 的取值范围 $($ 不需要写出证明过程 $)$ ；

(3)、存在 $n \in N_{+}$ ，使得关于x的不等式 $f_{n} (x) + a (sin x + cos x) - 2 a \geq 0$ 对任意的 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 恒成立，求a的取值范围．

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19、已知函数 $f (x) = {log}_{3} (9^{x} + 1) + k x$ 为偶函数.

(1)、求实数k的值；

(2)、若函数 $y = f (x) - a$ 有两个零点，求实数a的取值范围；

(3)、若函数 $g (x) = 9^{x} + 9^{- x} + m \cdot 3^{f (x)} - 1$ ， $x \in [0, {log}_{3} 2]$ 是否存在实数m使得 $g (x)$ 的最小值为0，若存在，求出实数 $m$ 的值；若不存在，请说明理由.

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20、已知函数 $f (x) = cos (\frac{π}{3} - 2 x) + sin (2 x - \frac{π}{6}) + 2 {cos}^{2} x + a$ 的最大值为 $3 .$

(1)、求常数a的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $x \in [0, π]$ 的单调递增区间；

(3)、若 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{12}, m)$ 上有9个零点，求实数m的取值范围.

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