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相关试卷

1、2024年惠州马拉松赛事期间，组委会需从甲、乙、丙、丁4位志愿者中选3位安排到物资分发、路线指引、医疗协助三个不同服务点，每个服务点1人．已知甲不能安排在物资分发服务点，则不同的安排方法共有（）

A、9种 B、12种 C、15种 D、18种

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2、已知 $cos (α + β) = \frac{1}{9}, cos (α - β) = - \frac{1}{3}$ ，则 $sin α sin β =$ （）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $- \frac{1}{9}$ D、 $- \frac{2}{9}$

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3、已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{2}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{8}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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4、已知复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = 2$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $- 1 - i$ D、 $- 1 + i$

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5、已知集合 $A = \{x |x < - 2 或 x ＞ 3\}$ ， $B = \{x |m - 1 \leq x \leq 2 m + 3\}$ ， $m \in R$ .

(1)、若 $m = 2$ ，求 $A \cup B$ 和 $(∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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6、在空间中，点 $O$ 为定点，设集合 $S = \{P |{|\vec{O P}|}^{2} - 2 \vec{O A} \cdot \vec{O P} \leq 1, |\vec{O A}| = 1\}$ ，则以下说法正确的是（）.
①若 $\vec{O P}$ 在 $\vec{O A}$ 上的数量投影为 $- \frac{1}{5}$ ，则线段 $O P$ 在运动过程中所形成的几何体体积为 $\frac{14}{375} π$ ；
②对于任意的 $P_{i} \in S$ 以及任意的正实数 $a_{i}$ ，设 $\vec{O Q} = \sum_{i = 1}^{4} a_{i} \vec{O P_{i}}$ ，若 $\sum_{i = 1}^{4} a_{i} = 1$ ，则 $Q \in S$ .

A、①是真命题，②是真命题 B、①是真命题，②是假命题 C、①是假命题，②是真命题 D、①是假命题，②是假命题

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7、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点D是BC的中点， $A B = A A_{1} = 4$ ．

(1)、求证： $A_{1} B //$ 平面 $A D C_{1}$ ；

(2)、求证：平面 $A D C_{1} ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(3)、求直线 $A_{1} B$ 到平面 $A D C_{1}$ 的距离．

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8、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $\vec{m} = (cos B, cos C)$ ， $\vec{n} = (- 2 a + c, b)$ ， $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$ ，

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $a + c = 4$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3}{4} \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

(3)、若三角形为锐角三角形，且 $b = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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9、设 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 是非零复数， $\bar{z_{1}}$ ， $\bar{z_{2}}$ 分别是 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 的共轭复数，则下列结论中正确的是（）

A、 $z^{2} = | z |^{2}$ B、 $| z_{1} \cdot z_{2} | = | z_{1} | \cdot | z_{2} |$ C、 $\frac{z}{\bar{z}} = \frac{z^{2}}{| z |^{2}}$ D、若 $| z | = 1$ ，则 $| z - 1 - i |$ 的最大值为 $\sqrt{2} + 1$

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10、在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a cos B - b cos A = b$ ，则 $\frac{b}{a + c}$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $(2 - \sqrt{3}, 1)$ C、 $(2 - \sqrt{3}, \sqrt{2} - 1)$ D、 $(\sqrt{2} + 1, \sqrt{3} + 2)$

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11、在平行四边形 $A B C D$ 中，已知 $A D = B D$ ， $∠ A D B = 90 °$ （如图1），将 $△ A D B$ 沿BD折起到 $△ S D B$ 的位置（如图2），使得平面 $S D B ⊥$ 平面 $B C D$ ，则直线SB与直线CD所成角为（）

A、30° B、60° C、90° D、120°

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12、已知向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 4$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，向量 $\vec{a} - \vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $\frac{3}{4} \vec{a}$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ （）

A、3 B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、12

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13、若 $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{8}$ 的方差为3，则 $2 (k_{1} - 3), 2 (k_{2} - 3), \dots, 2 (k_{8} - 3)$ 的方差为（）

A、3 B、6 C、9 D、12

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14、下列各组向量中，可以作为基底的是（）．

A、 ${\vec{e}}_{1} = (0, 0)$ ， ${\vec{e}}_{2} = (1, - 2)$ B、 ${\vec{e}}_{1} = (- 1, 2)$ ， ${\vec{e}}_{2} = (5, 7)$ C、 ${\vec{e}}_{1} = (3, 5)$ ， ${\vec{e}}_{2} = (6, 10)$ D、 ${\vec{e}}_{1} = (2, - 3)$ ， ${\vec{e}}_{2} = (\frac{1}{2}, - \frac{3}{4})$

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15、已知集合 $A = \{x \in N |2^{x} \leq 32\}, B = {1, 3, 5, 7}$ ，则图中阴影部分所表示的集合为（）

A、 ${0, 2, 4}$ B、 ${2, 4}$ C、 ${0, 4}$ D、 ${2, 4, 5}$

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16、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和．若 $a_{1} = - 2, a_{2} + a_{6} = 2$ ，则 $S_{10} =$ ．

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17、若斜率为1的直线 $l$ 与曲线 $y = ln (x + a)$ 和圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$ 都相切，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、0 C、2 D、0或2

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18、AI的快速发展在某些方面引发了人们对自己所在行业前景的焦虑，某心理辅导机构为了了解人们对于未来行业前景的焦虑是否与性别有关，对某社区居民进行了一次抽样调查，分别抽取男性和女性各50人作为样本，得到如下数据．

焦虑
不焦虑
合计
男性

10

女性
20

合计

(1)、根据已知条件，填写上面 $2 \times 2$ 列联表，并根据小概率值为 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为该社区居民对行业前景的焦虑与性别有关？

(2)、现从该样本焦虑的居民中，采用分层随机抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从这6人中随机抽取3人进行心理辅导，设抽取的3人中男性的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d$ 为样本容量．
$α$
$0.050$
$0.010$
$0.001$
$X_{α}$
$3.841$
$6.635$
$10.828$

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19、已知 $a \in R$ ，若 $z = a - 1 + (a + 1) i$ 为纯虚数，则 $|z + 2| =$ .

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20、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a < b < c$ 且 $tan A, tan B, tan C$ 均为整数.

(1)、求 $tan A, tan B, tan C$ 的值；

(2)、设 $A C$ 的中点为 $D$ ，求 $∠ C D B$ 的余弦值.

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	焦虑	不焦虑	合计
男性		10
女性	20
合计

$α$	$0.050$	$0.010$	$0.001$
$X_{α}$	$3.841$	$6.635$	$10.828$