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相关试卷

1、已知集合 $U = \{x |0 \leq x \leq 5, x \in N\}$ ，集合 $A = \{1, 2, 3\}$ ，集合 $B = \{1, 5\}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 $\{2, 3\}$ B、 $\{2, 4\}$ C、 $\{0, 4\}$ D、 $\{3, 5\}$

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2、已知点 $P (x, y)$ 满足 $\sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}} = |x + 1|, Q (4, 0)$ ，则 $|P Q|$ 的最小值为（　　）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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3、已知函数 $f (x) = e^{x} \ln (x + 1) + a x$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $x > - \frac{1}{3}$ ， $f (x) \geq f (0)$ 恒成立，求 $a$ 的值；

(3)、若 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上存在零点，求 $a$ 的取值范围.

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4、若直线的一个方向向量为 $(3, \sqrt{3})$ ，则它的倾斜角为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $120^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $150^{\circ}$

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5、已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， A、 $B$ 分别为椭圆 $Γ$ 的左、右顶点.过点 $C (1, 0)$ 作斜率为 $k_{1} (k_{1} \neq 0)$ 的动直线 $l$ 交椭圆 $Γ$ 于 $M$ 、 $N$ 两点；当 $k_{1}$ 变化时， $△ A B M$ 面积的最大值为2.

(1)、求椭圆 $Γ$ 的标准方程；

(2)、当 $k_{1} = 1$ 时，求 $△ A M N$ 的面积；

(3)、如图，设 $M$ 关于原点 $O$ 的对称点为 $P$ ，直线 $A P$ 、 $B N$ 交于点 $Q$ ，设直线 $O Q$ 的斜率为 $k_{2}$ ，试探究 $\frac{k_{2}}{k_{1}}$ 是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由.

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6、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $C D ⊥$ 平面 $P A D$ ， $A B / / C D$ ， $A P = 2 \sqrt{2}$ ， $C D = 2 A B = 2 P D = 2 A D = 4$ ，点E是棱 $P C$ 上靠近P端的三等分点.

(1)、证明： $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、证明： $P A / /$ 平面 $B D E$ ；

(3)、是否存在棱 $P A$ 上一点 $F$ ，使得平面 $B F C$ 与平面 $B F A$ 夹角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{22}}{11}$ ？若存在，请指出此时点 $F$ 的位置.

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7、在平面直角坐标系中，已知直线 $l_{1}$ ： $x + a y + 1 = 0$ ，圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 3 = 0$

(1)、若直线 $l_{1}$ 与圆 $C$ 相切，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ，直线 $l_{1}$ 与圆 $C$ 相交于 $A 、 B$ 两点，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、若直线 $l_{2}$ ： $y = k x$ 与圆 $C$ 交于 $M 、 N$ 两点，且 $|O M| = 2 |O N|$ （ $O$ 为坐标原点），求实数 $k$ 的值.

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8、已知空间三点 $A (- 2, 0, 2)$ ， $B (- 1, 1, 2)$ ， $C (- 3, 0, 4)$ ，设 $\vec{a} = \vec{A B}$ ， $\vec{b} = \vec{A C}$ .

(1)、求 $| \vec{b} |$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、若向量 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $k \vec{a} - 2 \vec{b}$ 互相垂直，求实数k的值.

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9、已知圆 $M$ ： ${(x + m)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$ 与圆 $N$ 关于直线 $l$ ： $x - y + 3 = 0$ 对称，且圆 $M$ 上任一点 $P$ 与圆 $N$ 上任一点 $Q$ 之间距离的最小值为 $2 \sqrt{2} - 2$ ，则实数 $m$ 的值为．

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10、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{6} = 1 (a > \sqrt{6})$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，若椭圆上的点P满足 $P F_{2} ⊥ x$ 轴， $|P F_{1}| = 2 |P F_{2}|$ ，则 $Δ P F_{1} F_{2}$ 的周长为．

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11、如图，在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M ， N$ 分别是棱 $A_{1} B_{1}$ ， $A_{1} D_{1}$ 的中点，点 $P$ 在线段 $C M$ 上运动，下列结论正确的是（）

A、平面 $C M N$ 截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得的截面图形是五边形 B、直线 $B_{1} D_{1}$ 到平面 $C M N$ 的距离是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、存在点 $P$ ，使得 $∠ B_{1} P D_{1} = 90 °$ D、 $△ P D D_{1}$ 面积的最小值是 $\frac{5 \sqrt{5}}{6}$

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12、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $A D_{1}$ 与直线 $A_{1} C_{1}$ 所成的角为 $60^{\circ}$ B、直线 $A D_{1}$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成的角为 $30^{\circ}$ C、二面角 $A_{1} - A C_{1} - D_{1}$ 的平面角为 $30^{\circ}$ D、点 $D_{1}$ 到平面 $A C C_{1} A_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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13、已知圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 2 = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、点 $P (2, 2)$ 在圆内 B、圆 $C$ 的圆心坐标为 $(1, 1)$ ，半径 $r$ 为 $2$ C、圆 $C$ 与 $y$ 轴交于点 $M 、 N$ ，则 $S_{△ C M N} = \sqrt{3}$ D、直线 $l$ ： $x + y + c = 0$ 与圆 $C$ 相切，则 $c = - 2 + 2 \sqrt{2}$

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14、已知椭圆的左､右焦点分别为 $F_{1} ､ F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线交椭圆于 $P ､ Q$ 两点，且 $P Q ⊥ F_{1} Q$ ， $S_{△ Q F_{1} F_{2}} = 2 S_{△ P F_{1} F_{2}}$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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15、已知圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 和两点 $A (a, 0), B (- a, 0) (a > 0)$ ，若圆 $C$ 上有且仅有一点 $P$ ，使得 $∠ A P B = 90 °$ ，则实数 $a$ 的值是（）

A、 $2 - \sqrt{2}$ B、 $2 + \sqrt{2}$ C、 $2 - \sqrt{2}$ 或 $2 + \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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16、已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ 的左、右焦点，点Р在椭圆上，若 $|P F_{1}| = |P F_{2}|$ ，则 $|P F_{1}| =$ （）

A、6 B、3 C、 $2 \sqrt{2}$ D、2

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17、已知点 $A (2, 5)$ ， $B (4, 11)$ ，则直线 $A B$ 的斜率为（）

A、 $- 3$ B、 $\frac{1}{3}$ C、3 D、2

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18、函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，区间 $[m, n] \subseteq D$ ，若 $f (x)$ 在 $[m, n]$ 上的值域是 $[k m, k n]$ ，则称 $[m, n]$ 为 $f (x)$ 的“ $k$ -跟随区间”，下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x) = |x - 1|$ 的一个“ $1 -$ 跟随区间”是 $[0, 1]$ B、函数 $f (x) = a^{x} (a > 1)$ 一定存在“ $1 -$ 跟随区间” C、函数 $f (x) = x^{2} + 2 x$ 存在“3-跟随区间” D、若函数 $f (x) = \frac{(a^{2} + a) x - 1}{a^{2} x} (a \in R, a \neq 0)$ 存在“ $2 -$ 跟随区间”，则 $n - m$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{14}}{7}$

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19、已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到直线 $l$ ： $x - y - 2 = 0$ 的距离为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求 $p$ 的值；

(2)、倾斜角为 $\frac{2 π}{3}$ 的直线 $l^{'}$ 过 $F$ ，与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $|A B|$ ；

(3)、 $E$ 是直线 $y = - 1$ 上一动点，过点 $E$ 作 $C$ 的两条切线，切点分别为 $M$ ， $N$ ，证明：直线 $M N$ 过定点．

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20、已知圆 $C$ 经过 $A (0, 0)$ ， $B (4, 2)$ 两点，且圆心 $C$ 在直线 $x + y - 3 = 0$ 上．

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、已知直线 $l$ 经过点 $(3, - 1)$ ， $l$ 与圆 $C$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点， $|M N| = 4$ ，求 $l$ 的一般式方程．

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