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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} - x^{2} + 2 a x + 4 ， x \leq 1 \\ \frac{1}{x} ， x > 1 \end{matrix}$ 是 $[- \frac{1}{2}, + \infty)$ 上的减函数，则 $a$ 的取值范围是（　　）

A、 $[- 1, - \frac{1}{2}]$ B、 $（ - \infty, - 1]$ C、 $[- 1, - \frac{1}{2})$ D、 $（ - \infty, 1]$

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2、中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”，但刘徽未能求得牟合方盖的体积，约200年后，祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，后世称为祖暅原理，即：两等高立体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等．图1为棱长为r的正方体截得的“牟合方盖”的八分之一，图2为棱长为r的正方体的八分之一，图3是底面边长为r的正方体的一个底面和底面以外的顶点作的正四棱锥，由祖暅原理计算知，牟合方盖的体积与其外切正方体的体积之比为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{16}$ D、 $\frac{9}{16}$

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3、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线与圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 相切且分别交双曲线的左、右两支于A、B两点，若|AB|=|BF₂|，则双曲线的渐近线方程为．

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4、记 $S_{n}$ 为等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3} = \frac{1}{4}, S_{3} = \frac{3}{4}$ ，则公比 $q =$ ．

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5、如图，直线 $l : y = m (m > 0)$ 与函数 $f (x) = 2 \sin (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图象依次交于A，B，C三点，若 $| B C | = 2 | A B |$ ， $| A C | = 6$ ，则（）

A、 $m = 1$ B、 $ω = π$ C、 $x = - \frac{1}{2}$ 是曲线 $y = f (x)$ 的一条对称轴 D、曲线 $y = f (x)$ 向右平移1个单位后关于原点对称

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6、设事件 $A, B$ 为两个随机事件， $P (A) \neq 0, P (B) \neq 0$ ，且 $P (\bar{A} | B) = P (B | A)$ ，则（）

A、 $P (B | \bar{A}) = P (\bar{B} | A)$ B、 $P (\bar{B} | A) = P (A | B)$ C、 $P (B | \bar{A}) = P (A | B)$ D、 $P (\bar{A} | B) = P (\bar{B} | \bar{A})$

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7、如图，在平行六面体 $A C_{1}$ 中， $E$ 是 $A B$ 的中点，过 $B_{1}, D_{1}, E$ 三点的截面 $D_{1} B_{1} E F$ 把平行六面体分成两个部分，则左右两部分体积之比为（）.

A、 $3 : 4$ B、 $5 : 7$ C、 $4 : 7$ D、 $7 : 17$

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8、一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（）

A、 $\frac{C_{3}^{2} C_{7}^{1}}{C_{10}^{3}}$ B、 $\frac{C_{3}^{1} C_{7}^{2}}{C_{10}^{3}}$ C、 $\frac{C_{3}^{1} C_{10}^{2}}{C_{10}^{3}}$ D、 $\frac{C_{3}^{2} C_{10}^{1}}{C_{10}^{3}}$

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9、在复平面内，向量 $\vec{A B}$ 对应的复数为 $- 1 + 3 i$ ，向量 $\vec{A C}$ 对应的复数为 $- 2 + i$ ，则向量 $\vec{B C}$ 对应的复数为（）

A、 $- 3 - 4 i$ B、 $- 3 + 4 i$ C、 $1 + 2 i$ D、 $- 1 - 2 i$

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10、如图1，已知四边形 $A B C D$ 为菱形， $A B = 4 \sqrt{3}$ ， $∠ A B C = 60^{\circ}$ ， $O$ 为 $△ A B C$ 的外心．

(1)、求 $\vec{O C} \cdot \vec{O D}$ 的值；

(2)、点 $P$ 在以 $O$ 为圆心，1为半径的圆上运动，
①已知点 $B_{1}$ 是点 $B$ 关于点 $O$ 的对称点，求 $|\vec{P B}| + |\vec{P B_{1}}|$ 的取值范围；
②已知点 $M$ 为边 $A D$ 的中点，且存在实数x，y，z，使得 $x \vec{P A} + y \vec{P B} + z \vec{P M} = 0$ ，求出当 $\frac{x}{y}$ 最大时的 $\frac{z}{x + y}$ 的值．

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11、如图，已知在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 6$ ， $C D = D A = 4$ ．

(1)、若 $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，求 $B D$ 的长；

(2)、设 $∠ B A D = α, ∠ B C D = β$ ，
①若 $α = 120^{\circ}$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积；
②当四边形 $A B C D$ 面积最大时，求证： $α + β = 180^{\circ}$ ．

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12、已知函数 $f (x) = 2 {cos}^{2} x + 2 \sqrt{3} sin x cos x + 1$ ， $x \in R$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和最大值；

(2)、若 $f (\frac{α}{2}) = \frac{16}{5}$ ，求 $sin (2 α + \frac{5 π}{6})$ 的值．

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13、已知复数 $z = \frac{5}{2 - i} - 1 + i$ ．

(1)、求 $\bar{z}$ 和 $|z|$ ；

(2)、若复数 $z$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的一个根，求 $p, q$ 的值．

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14、除特许外，外轮不得进入离我国海岸线 $12 n$ mile以内的区域．如图，A，B是海岸线上相距 $10 n$ mile的两个观测站，测得某外轮在点 $P$ 位置， $∠ B A P = 45^{\circ}$ ， $∠ A B P = 120^{\circ}$ ，则此时 $P$ 离海岸线的距离为 $n$ mile．

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15、若 $5 sin 2 α = - 8 sin α$ ， $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ，则 $cos \frac{α}{2}$ 的值是．

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16、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (x, 1)$ ， $2 \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 平行，则 $x$ 的值为．

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17、在锐角三角形 $A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ， $sin C - sin A = 2 sin A cos B$ ，则（）

A、 $B = 2 A$ B、 $b^{2} = a^{2} + a c$ C、 $1 < sin A + cos A < \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3} < \frac{4 {sin}^{2} A}{4 sin A - sin C} < 1$

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18、某药物在人体内的血药浓度与时间有关，血药浓度 $C$ （单位： $mg / L$ ）与时间 $t$ （小时）的变化规律可近似表述为： $C (t) = C_{0} e^{- k t}$ ，其中 $C_{0}$ 为初始血药浓度， $k$ 为代谢速率常数， $C (t)$ 图象如图所示，则（）

A、 $k = ln 2$ B、每小时血药浓度降低的数值相等 C、服药后6小时，血药浓度降至初始值的 $\frac{1}{64}$ D、服药后，人体内的血药浓度随着时间的增加而降低

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19、下列关于向量的说法中正确的是（）

A、 $\vec{A B} = |\vec{A B}|$ B、 $\vec{A B} + \vec{B A} = \vec{0}$ C、在边长为1的正方形 $A B C D$ 中， $|\vec{B A} + 2 \vec{B C}| = \sqrt{2}$ D、 $\vec{a} = (2, - 3)$ ， $\vec{b} = (1, - 2)$ 能作为平面内的一组基底

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20、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c， $c = 1$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = \frac{1}{2}$ ，则 $tan C$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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