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相关试卷

1、已知复数z在复平面内满足 $|z| \leq 1$ ，则复数 $z$ 对应的点Z的集合所形成图形的面积为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $π$ C、 $\frac{3}{2} π$ D、 $2 π$

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2、组合数有许多丰富有趣的性质，例如，二项式系数的和有下述性质： $\sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} = 2^{n}$ .小明同学想进一步探究组合数平方和的性质，请帮他完成下面的探究.

(1)、计算： ${(C_{2}^{0})}^{2} + {(C_{2}^{1})}^{2} + {(C_{2}^{2})}^{2}$ ， ${(C_{3}^{0})}^{2} + {(C_{3}^{1})}^{2} + {(C_{3}^{2})}^{2} + {(C_{3}^{3})}^{2}$ ，并与 $C_{4}^{2}$ ， $C_{6}^{3}$ 比较，你有什么发现?写出一般性结论并证明；

(2)、证明： $\sum_{k = 0}^{2 n} {(- 1)}^{k} {(C_{2 n}^{k})}^{2} = {(- 1)}^{n} C_{2 n}^{n}$ ；

(3)、利用上述（1）（2）两小问的结论，证明： $\sum_{k = 1}^{n} {(C_{2 n}^{2 k - 1})}^{2} = \frac{1}{2} [C_{4 n}^{2 n} + {(- 1)}^{n - 1} C_{2 n}^{n}]$ .

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3、设函数 $f (x) = x^{3} - 3 a x + b$ ，若函数 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处取得极小值8．

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[0, 3]$ 上的最大值和最小值，以及相应x的值；

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4、二项式 ${(2 x + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{n}$ 展开式前三项的二项式系数和为22.

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求展开式中各项的二项式系数和；

(3)、求展开式中的常数项及二项式系数最大的项.

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5、已知 ${(1 + a x)}^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4}$ ，若 $a_{3} = - 32$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} =$ ．

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6、已知 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数，若 $f (x) = x^{2} - x f^{'} (3)$ ，则 $f (1) =$ ．

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7、函数 $y = f (x)$ 的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、3是 $f (x)$ 的极小值点 B、 $- 1$ 是 $f (x)$ 的极小值点 C、 $f (x)$ 在区间 $(- \infty, 3)$ 上单调递减 D、曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 2$ 处的切线斜率小于零

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8、已知函数 $f (x) = x^{2} + \frac{a}{x}$ ，若 $f (x)$ 在 $[2, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 16]$ B、 $(- \infty, 8)$ C、 $(- \infty, - 8) \cup (8, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 16] \cup [16, + \infty)$

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9、 $(x + \frac{y^{2}}{x}) {(x - 2 y)}^{4}$ 的展开式中 $x^{2} y^{3}$ 项的系数为（）

A、 $- 24$ B、 $- 40$ C、24 D、 $- 30$

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10、如图，用 6 种不同的颜色把图中 A，B，C，D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（）

A、400 种 B、460 种 C、480 种 D、496 种

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11、用 $2, 3, 4, 5, 6$ 这五个数组成无重复数字的五位数，则不同的奇数共有（）

A、24个 B、48个 C、60个 D、72个

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12、下列求导运算正确的是（）

A、 ${(\sin x)}^{'} = - \cos x$ B、 $(\ln 2)^{'} = \frac{1}{2}$ C、 ${(\frac{1}{x})}^{'} = - \frac{1}{x^{2}}$ D、 ${(e^{2 x + 1})}^{'} = e^{2 x + 1}$

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13、设函数 $f (x) = \ln x + a (x - 1) (x - 2)$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，判断函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 在定义域内有两个不同的极值点，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、设 $f (x)$ 的两个不同的极值点为 $x_{1}, x_{2}$ ，证明： $f (x_{1}) + f (x_{2}) > \frac{5}{9} + \ln \frac{9}{16}$ .

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 3, a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ ，

(1)、请证明 $\{a_{n} + 1\}$ 是等比数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、令 $b_{n} = (2 n + 1) (a_{n} + 1)$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 前 $n$ 项的和 $T_{n}$ ．

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15、已知椭圆 $C : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的下焦点为 $F (0, - 2)$ ，其离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过 $F$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $P, Q$ 两点（直线 $P Q$ 与坐标轴不垂直），过 $P, Q$ 作 $y$ 轴的垂线，垂足分别为 $M, N$ ，若直线 $P N$ 与 $Q M$ 交于点 $H$ ，证明：点 $H$ 的纵坐标为定值.

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16、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $D, E, F$ 分别是棱 $A B$ ， $B C$ ， $C P$ 的中点， $A B = A C = 1$ ， $P A = 2$ ．

(1)、求直线 $P A$ 与平面 $D E F$ 所成角的正弦值；

(2)、求点 $P$ 到平面 $D E F$ 的距离．

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17、某环保局派遣包括张三，李四，王五在内的12名工作人员到A，B，C三个镇开展环境保护的宣传工作，每个镇至少派遣3人，因工作需要，张三，李四，王五3人要派遣到同一个镇，则不同的派遣方案共有种．（结果用数字表示）

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18、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，若 $T_{5} = 32$ ，则 $a_{3} =$ .

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19、在二项式 ${(\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{2})}^{n}$ 的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论中正确的是（）

A、 $n = 8$ B、展开式中所有奇数项的二项式系数和为128 C、常数项为 $\frac{1}{16}$ D、展开式中系数最大项为第3项和第4项

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20、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{3 a^{2}} = 1 (a > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若 $∣ F_{1} F_{2} ∣ = 2 e$ （ $e$ 为 $C$ 的离心率），则（）

A、 $a = 1$ B、 $C$ 的虚轴长为 $2 \sqrt{3}$ C、 $e = \sqrt{2}$ D、 $C$ 的一条渐近线的斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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