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相关试卷

1、若 $f (x) = x^{2} - 2 x - 4 \ln x$ ，则 $f^{'} (x) > 0$ 的解集为（）

A、(0， $+ \infty$ ) B、(-1，0) $\cup$ (2， $+ \infty$ ) C、(2， $+ \infty$ ) D、(-1，0)

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2、设函数 $f (x) = 2 ln x - x^{2}$ ，则（）

A、 $x = e$ 为极大值点 B、 $x = 1$ 为极大值点 C、 $x = 1$ 为极小值点 D、无极值点

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3、 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中的常数项是（）

A、-120 B、-60 C、60 D、120

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4、已知 $f (x) = \ln (2 x + 1) - a x$ ，且 $f^{'} (2) = - 1$ ，则 $a =$ （）

A、 $\frac{7}{5}$ B、 $\frac{6}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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5、曲线 $f (x) = x \ln x$ 在点 $x = 1$ 处的切线方程为（）

A、 $y = 2 x + 2$ B、 $y = 2 x - 2$ C、 $y = x - 1$ D、 $y = x + 1$

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6、 $\forall x > 0$ ， $f (x) = {(x - a)}^{3} [\ln x + a (x - 1)] \geq 0$ ，则 $a$ 的取值为.

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7、定义：若无穷数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\{a_{n + 1} - a_{n}\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“ $M (q)$ 数列”．设数列 $\{b_{n}\}$ 中 $b_{1} = 1$ ， $b_{3} = 5$ ．

(1)、若 $b_{2} = 3$ ，且数列 $\{b_{n}\}$ 是“ $M (q)$ 数列”，求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n + 1} = 4 S_{n} - n + λ$ ，请判断数列 $\{b_{n}\}$ 是否为“ $M (q)$ 数列”，并说明理由；

(3)、若数列 $\{b_{n}\}$ 是“ $M (3)$ 数列”，是否存在正整数 $m$ ， $n$ ，使 $\frac{6058}{2019} < \frac{b_{m} - 1}{b_{n} - 1} < \frac{6059}{2019}$ ，若存在，请求出所有满足条件的正整数 $m$ ， $n$ ；若不存在，请说明理由．

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8、在平面直角坐标系 $x O y$ 内，已知曲线 $C$ 上任意一点到点 $F (2, 0)$ 的距离比到直线 $x = - 3$ 的距离少1．

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、点 $A (2, t) (t > 0)$ 在曲线 $C$ 上，若直线 $l$ 斜率存在并与抛物线 $C$ 交于 $M$ 、 $N$ 两点（ $M$ 、 $N$ 异于点 $A$ ）．若 $A M ⊥ A N$ ，证明：直线 $l$ 过定点．

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9、已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = a x - 2 - ln x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a = 1$ 时，若对任意 $x \in (0, + \infty)$ ， $f (x) \geq b x - 3$ 恒成立，求实数 $b$ 的最大值．

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10、如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $E$ 是棱 $B B_{1}$ 的中点， $A B = A A_{1} = 1$ ，点 $F$ 在 $A C$ 上，且 $C F = 2 F A$ ．

(1)、求证： $A B_{1} / /$ 平面 $C_{1} E F$ ；

(2)、求点 $C$ 到平面 $C_{1} E F$ 的距离．

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11、 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a^{2} + b^{2} - c^{2} - \sqrt{2} a b = 0$ ， $sin C = \frac{\sqrt{6}}{3} sin B$ ， $B$ 为锐角．

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $c = 4 \sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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12、若函数 $f (x) = x ln x - a x^{2}$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上有两个极值点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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13、在二项式 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x})}^{n} (n \in N*)$ 的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中 $x$ 的系数为．（用数字作答）

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14、如果 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = \sqrt{2}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}|$ 的值是．

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15、已知双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，其一条渐近线方程为 $y = \sqrt{3} x$ ，点 $A$ 为 $C$ 的左支上任意一点，则下列说法正确的是（）

A、 $b = \sqrt{3}$ B、 $F_{2}$ 到渐近线 $y = \sqrt{3} x$ 的距离是 $\sqrt{3}$ C、若 $B (0, 2)$ ，则 $|A B| + |A F_{2}|$ 的最小值为 $4 \sqrt{2}$ D、若点 $P (- 3, t)$ 为 $C$ 的左支上一点，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆的半径为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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16、对于函数 $f (x) = sin 2 x$ 和 $g (x) = sin (2 x - \frac{π}{4})$ ，下列说法中正确的有（）

A、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 有相同的最小值 B、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象有相同的对称中心 C、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 有相同的最小正周期 D、当 $x \in [0, 2 π]$ 时， $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象有 $4$ 个交点

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17、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = - 12$ ，公差 $d = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\{a_{n}\}$ 是递增数列 B、1是数列 $\{a_{n}\}$ 中的项 C、数列 $\{S_{n}\}$ 中的最小项为 $S_{8}$ D、数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是等差数列

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18、设 $a = \frac{11}{10}$ ， $b = \frac{ln 3}{3}$ ， $c = e^{\frac{1}{10}}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $c > a > b$ B、 $c > b > a$ C、 $a > b > c$ D、 $b > a > c$

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19、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $P$ 为 $C$ 的右支上一点， $∠ P F_{1} F_{2} = 45^{\circ}$ ， $∠ F_{1} P F_{2} = 60^{\circ}$ 则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3} + 1$

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20、如果实数 $x$ 、 $y$ 满足 $x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 = 0$ ，那么 $\frac{y}{x + 2}$ 的最大值是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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