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相关试卷

1、若 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 为空间两两夹角都是 $60^{\circ}$ 的三个单位向量，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b} - 3 \vec{c}| =$ ．

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2、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F，G分别为BC， $C C_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点，则（）

A、直线 $D_{1} D$ 与直线AF垂直 B、直线 $A_{1} G$ 与平面AEF平行 C、平面AEF截正方体所得的截面是平行四边形 D、点C和点G到平面AEF的距离相等

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3、已知点 $A (2, 2, 3) ， B (1, 0, 1)$ ，向量 $\vec{A C} = (1, - 1, 2)$ ，则向量 $\vec{B C}$ 在向量 $\vec{A B}$ 上的投影向量为（）

A、 $(- \frac{4}{3}, - \frac{8}{3}, - \frac{8}{3})$ B、 $(- 4, - 8, - 8)$ C、 $(\frac{4}{3}, \frac{8}{3}, \frac{8}{3})$ D、 $(4, 8, 8)$

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4、直线 $(2 a - 1) x + y - 2 = 0$ 与直线 $x - a y + 2 = 0$ 互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(\frac{2}{5}, \frac{6}{5})$ D、 $(- \frac{2}{5}, \frac{6}{5})$

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5、在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，设 $\vec{A B} = \vec{a},$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ， $\vec{D F} = \frac{1}{3} \vec{D B}$ ， $\vec{A E} = \frac{1}{2} \vec{A D_{1}}$ ，则 $\vec{E F} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{7}{6} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{5}{6} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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6、已知函数 $f (x) = e^{x} - cos x - a x$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在区间 $[0, + \infty ）$ 上的最小值；

(2)、若对任意的 $x \geq 0$ ，都有 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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7、设 $\{a_{n}\}$ 是正项数列，且其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n} = \frac{1}{8} {(a_{n} + 2)}^{2}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{1}{2} (\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} + \frac{a_{n}}{a_{n + 1}}) (n \in N^{*})$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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8、在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且满足 $\sqrt{3} a sin C = c (2 + cos A)$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长的最大值．

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9、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin x cos x + {cos}^{2} x - \frac{1}{2}$

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域．

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} - l n x ， 0 < x \leq 1 \\ 1 - {(x - 2)}^{2} ， x > 1 \end{matrix}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - m$ 有三个零点，则实数 $m$ 的取值范围是．

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11、已知向量 $\vec{a} = (cos θ, sin θ), \vec{b} = (1, \sqrt{3})$ ，若 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则 $θ =$ ．（写出一个值即可）

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{1 + 2 a_{n}}$ ，则 $a_{2025} =$ ．

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13、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ ，则下列结论正确的是（　　）

A、当 $a \leq 0$ 时， $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增 B、当 $a > 0$ 时， $f (x)$ 有且仅有一个极小值点 C、当 $a = e$ 时， $f (x) \geq 1$ 恒成立 D、若方程 $f (x) = 0$ 有两个不同的实数根，则 $a > e$

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14、（多选）下列存在量词命题中，是真命题的是（）．

A、 $\exists x \in Z$ ， $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ B、至少有一个 $x \in Z$ ，使 $x$ 能同时被2和3整除 C、 $\exists x \in R$ ， $|x| < 0$ D、有些自然数是偶数

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15、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ ，若 $f (x) \leq |f (\frac{π}{6})|$ 且函数 $f (x)$ 的最小正周期 $T$ 满足 $T \in (\frac{π}{5}, \frac{π}{3})$ ，则 $T =$ （）

A、 $\frac{2 π}{7}$ B、 $\frac{2 π}{9}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{4 π}{15}$

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16、已知函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象向左平移 $ϕ (ϕ > 0)$ 个单位后关于原点对称，则 $ϕ$ 的最小值为（　　）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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17、已知 $a = {log}_{2} 3 ， b = {log}_{3} 2 ， c = 2^{- 0.5}$ ，则（　　）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $c > a > b$

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18、记 $S_{n}$ 为正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1} = 1, S_{3} = \frac{7}{4}$ ，则 $S_{5} =$ （　　）

A、 $\frac{31}{16}$ B、 $\frac{33}{16}$ C、 $\frac{31}{8}$ D、 $\frac{33}{8}$

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19、已知向量 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (1, - 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - λ \vec{b})$ ，则实数 $λ =$ （　　）

A、1 B、2 C、3 D、5

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20、已知复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = |3 + 4 i|$ ，则 $z$ 的虚部为（　　）

A、 $- \frac{5}{2}$ B、 $- \frac{5}{2} i$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{5}{2} i$

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