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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = ln (x + 1)$ ．

(1)、讨论函数 $F (x) = a x - f (x) (a \in R)$ 的单调性；

(2)、设函数 $g (x) = (x + 1) f (\frac{1}{x}) - f (\frac{1}{x} + 1)$ ．
（i）求 $g (1) - g (- 2)$ 的值；
（ii）证明：存在实数 $m$ ，使得曲线 $y = g (x)$ 关于直线 $x = m$ 对称．

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2、某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是 $\frac{2}{3}$ ，且每题正确完成与否互不影响.

(1)、分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；

(2)、请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？

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3、已知关于 $x$ 的不等式 $k x^{2} - 2 x + 6 k < 0 (k \neq 0)$ ．
（1）若不等式的解集是 $\{x |x < - 3$ 或x＞-2，求 $k$ 的值；
（2）若不等式的解集是 $\{x |x \neq \frac{1}{k}\}$ ，求 $k$ 的值：
（3）若不等式的解集是 $R$ ，求 $k$ 的取值范围；
（4）若不等式的解集是 $\emptyset$ ，求 $k$ 的取值范围.

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4、已知 $- \frac{1}{2} < \frac{1}{x} < 2$ ，则实数 $x$ 的取值范围是.

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5、已知 $x_{1}$ 是函数 $f (x) = x^{3} + m x + n (m < 0)$ 的极值点，若 $f (x_{2}) = f (x_{1}) (x_{1} \neq x_{2})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的对称中心为 $(0, n)$ B、 $f (- x_{1}) > f (x_{1})$ C、 $2 x_{1} + x_{2} = 0$ D、 $x_{1} + x_{2} > 0$

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6、已知函数 $f (x) = (x + 1) (e^{x} - x - 1)$ ，则下列说法正确的有（）

A、f（x）无最大值 B、f（x）有唯一零点 C、f（x）在（0，＋∞）单调递增 D、f（0）为f（x）的一个极小值

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7、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $Z$ ，且满足 $f (x) + f (y) = f (x + y) - 2 x y + 2, f (1) = 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (4) = 12$ B、方程 $f (x) = x$ 有解 C、 $f (x + \frac{1}{2})$ 是偶函数 D、 $f (x - \frac{1}{2})$ 是偶函数

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8、若x＋2y＝4，则2^x＋4^y的最小值是

A、4 B、8 C、2 $\sqrt{2}$ D、4 $\sqrt{2}$

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9、使 $- x^{2} + 5 x + 6 > 0$ 成立的一个充分但不必要条件是（）

A、 $- 1 < x < 6$ B、 $- 1 < x < 3$ C、 $- 2 < x < 6$ D、 $- 6 < x < 1$

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10、已知复数 $z$ 满足 $\frac{4 z - i}{z} = - 2 i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{5} i$ B、 $\frac{1}{10} i$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{10}$

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11、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{0, 1, 2, 3\}$ ， $B = \{x |1 < \ln (x + 1) < 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{3\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{2, 3\}$ D、 $\{1, 2, 3\}$

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12、在组合恒等式的证明中，构造一个具体的计数模型从而证明组合恒等式的方法叫做组合分析法，该方法体现了数学的简洁美，我们将通过如下的例子感受其妙处所在．

(1)、对于 $n$ 元一次方程 $x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} = k$ ，试求其正整数解的个数；

(2)、对于 $n$ 元一次方程组 $\{\begin{array}{l} x_{1} + x_{2} + \dots + x_{m} = p + 1 \\ x_{m + 1} + x_{m + 2} + \dots + x_{n} = q + 1 \end{array}$ ，试求其非负整数解的个数；

(3)、证明： $C_{p + q + n + 1}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{p + k}^{k} C_{q + n - k}^{n - k}$ （可不使用组合分析法证明）．
注： $\{\begin{array}{l} x_{1} = a \\ x_{2} = b \end{array}$ 与 $\{\begin{array}{l} x_{1} = b \\ x_{2} = a \end{array}$ 可视为二元一次方程的两组不同解．

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13、在 ${(1 + x)}^{5} {(1 + y)}^{3}$ 的展开式中，记 $x^{m} y^{n}$ 项的系数为 $f (m, n)$ ，则 $f (3, 0) + f (2, 1) =$ ．

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14、已知二项式 ${(x - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{8}$ ，则下列结论正确的是（）

A、第5项的二项式系数最大 B、所有项的系数之和为1 C、有且仅有第6项的系数的绝对值最大 D、展开式中共有4项有理项

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15、骰子是质地均匀的正方体，各面分别标有数字1，2，3，4，5，6．现在掷一枚骰子两次，记事件 $A =$ “两次点数的最小值为3”，事件 $B =$ “两次点数的最大值为6”，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{7}$ D、 $\frac{3}{8}$

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16、在2024年高校自主招生考试中，高三某班的四名同学决定报考 $A, B, C$ 三所高校，则恰有两人报考同一高校的方法共有（）

A、9种 B、36种 C、38种 D、45种

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17、设函数f（x）在R上可导，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，且函数 $y = {(x - 1)}^{3} f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）

A、函数f（x）有极大值f(-3)和f（3） B、函数f（x）有极小值f(-3)和f（3） C、函数f（x）有极小值f（3）和极大值f(- 3) D、函数f （x）有极小值f(-3)和极大值f（3）

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18、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $a_{5} + a_{7} + a_{9} = 27$ ，则 $2 a_{8} - a_{9}$ 的值为（）

A、18 B、15 C、12 D、9

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19、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是两个夹角为 $60 °$ 的单位向量， $\vec{O A} = \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{O B} =$ $5 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ．

(1)、求 $|\vec{A B}|$ ；

(2)、设 $\vec{O C} = t \vec{e_{1}}$ ，是否存在实数t，使得 $△ A B C$ 是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

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20、已知 $|\overset{⃑}{a}| = 3$ ， $|\overset{⃑}{b}| = 4$ ，且 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 的夹角为 $120 °$ .
（1）求 $|\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}|$ 的值；
（2）若 $(2 \overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}) ⊥ (\overset{⃑}{a} + k \overset{⃑}{b})$ ，求实数 $k$ 的值.

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