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相关试卷

1、设 $P$ 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意 $a, b \in P$ ，都有 $a + b, a - b, a b, \frac{a}{b} \in P$ （除数 $b \neq 0$ ），则称 $P$ 是一个数域.例如有理数集 $Q$ 是一个数域；现有两个数域 $E = {a + b \sqrt{2} ∣ a, b \in Q}$ 与 $F = {a + b \sqrt{3} ∣ a, b \in Q}$ .下列关于这两个数域的命题中是真命题的为（）

A、数域 $E, F$ 中均含的元素0，1. B、有理数集 $Q \subseteq E$ . C、 $E \cup F$ 是一个数域 D、整数集 $Z \subseteq (E \cap F)$ .

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2、集合U，S，T，F的关系如图所示，那么下列关系中正确的是（）

A、 $S \subseteq T$ B、 $T \subseteq ∁_{U} S$ C、 $F \subseteq ∁_{U} S$ D、 $T \subseteq ∁_{U} F$

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3、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(2, + \infty)$ ，值域为 $R$ ，则（）

A、函数 $f (x^{2} + 2)$ 的定义域为 $R$ B、函数 $f (x^{2} + 2) - 2$ 的值域为 $R$ C、函数 $f (x^{2} + 2 x + 3)$ 的定义域和值域都是 $R$ D、函数 $f (f (x))$ 的定义域和值域都是 $R$

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4、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + 3$ 在 $(- \infty, 2]$ 上是减函数，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - 1]$ B、 $[- 1, + \infty)$ C、 $(- \infty, 2]$ D、 $[2, + \infty)$

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5、已知函数 $f (x) = x (1 - x), x \in [0, 1]$ ，且 $f (x)$ 最大值为（）

A、0 B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6、“ $x > 2$ ”是“ $\frac{2}{x} < 1$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7、下列结论正确的是（）

A、若 $a > b, m > n$ ，则 $a - m > b - n$ B、若 $m > 0$ ，则 $\frac{1}{2} > \frac{1 + m}{2 + m}$ C、 $\sqrt{7} - \sqrt{6} < \sqrt{6} - \sqrt{5}$ D、若 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ，则 $a < b$

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8、已知命题 $p : \forall x \in R, x^{2} + a - 1 \geq 0$ ，若p为真命题，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- \infty, 1]$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $[1, + \infty)$

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9、已知集合 $A = {x ∣ - 1 < x < 1}, B = {x ∣ 0 \leq x \leq 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x ∣ - 1 < x < 2}$ B、 ${x ∣ - 1 < x \leq 2}$ C、 ${x ∣ 0 \leq x < 1}$ D、 ${x ∣ 0 \leq x \leq 2}$

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10、已知函数 $f (x)$ 的定义域为R，且对任意的实数m，n，都有 $f (m + n) = f (m) + f (n) - 3$ ，且当 $x > 0$ 时， $f (x) > 3$ ．

(1)、求 $f (0)$ ；

(2)、证明： $f (x)$ 在R上为增函数；

(3)、若关于x的不等式 $f (a x - 2) + f (x - x^{2}) < 6$ 对一切 $x \in [- 1, + \infty)$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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11、市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快，已知每投放 $a$ $(1 \leq a \leq 4, a \in R)$ 个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度 $y$ （克/升）随着时间 $x$ （分钟）变化的函数关系式近似为 $y = a \cdot f (x)$ ，其中 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{16}{8 - x} - 1 (0 \leq x \leq 4) \\ 5 - \frac{1}{2} x (4 < x \leq 10) \end{array}$ ，若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用.

(1)、若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？

(2)、若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，问能否使接下来的4分钟内持续有效去污？说明理由.

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12、已知 $f (x) = x^{2} + 3 x - a$ ．

(1)、若 $f (x) < 0$ 的解集为 $\{x |- 4 < x < b\}$ ，求实数a，b的值；

(2)、解关于x的不等式 $f (x) > a x + 2 a$ ．

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13、解答下列各题，

(1)、计算： $\lg 25 + \lg 4 + 6^{\log_{6} 3} + \log_{2} 3 \cdot \log_{3} 4$ ；

(2)、已知 $x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} = 3$ ，求 $\frac{x^{2} + x^{- 2} - 2}{x + x^{- 1} + 2}$ 的值.

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14、定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 对任意的 $x_{1}, x_{2} \in (- \infty, 0]$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < 0$ ，且 $f (1) = 0$ ，则不等式 $\frac{f (x)}{x + 3} < 0$ 的解集是.

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15、已知 $\tan α = 2$ ，则 $\frac{\sin α + 3 \cos α}{2 \sin α - 3 \cos α} =$ .

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16、对于定义域为 $D$ 的函数 $f (x)$ ，若存在区间 $[m, n] \subseteq D$ ，同时满足下列条件：① $f (x)$ 在 $[m, n]$ 上是单调的；②当 $x \in [m, n]$ 时，有 $f (x) \in [m, n]$ ，则称 $[m, n]$ 为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的是（）

A、 $f (x) = \frac{2}{x}$ B、 $f (x) = x^{2} - 2 x$ C、 $f (x) = x^{3}$ D、 $f (x) = \ln x + 2$

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17、已知函数 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于原点对称 B、 $f (x)$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 的值域是 $[2, + \infty]$ D、 $f (x)$ 没有零点

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18、已知 $θ \in (0, π)$ ， $\sin θ + \cos θ = \frac{1}{5}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $θ \in (\frac{π}{2}, π)$ B、 $\cos θ = - \frac{3}{5}$ C、 $\tan θ = \frac{4}{3}$ D、 $\sin θ - \cos θ = \frac{1}{5}$

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19、教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气，按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%，经测定，刚下课时，某教室空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为 $y %$ ，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数 $y = 0.05 + λ e^{- \frac{t}{10}} (λ \in R)$ 描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（）（参考数据 $\ln 2 \approx 0.7, \ln 3 \approx 1.1$ ）

A、7分钟 B、9分钟 C、11分钟 D、14分钟

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20、已知 $a = 2^{0.1}$ ， $b = \log_{8} 4$ ， $c = {0.25}^{0.5}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > a > b$ C、 $a > c > b$ D、 $c > b > a$

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