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相关试卷

1、已知 $\{a_{n}\}$ 是等差数列， $\{b_{n}\}$ 是各项都为正数的等比数列.且 $a_{1} = 2$ ， $b_{1} = 1$ ， $a_{3} + b_{2} = 8$ ， $a_{2} = b_{3}$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{a_{n} \cdot b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ；

(3)、若 $c_{n} = \{\begin{cases} a_{n} ， n 为奇数 \\ b_{n} ， n 为偶数 \end{cases}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前2n项和 $S_{2 n}$ .

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2、从集合 $M = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ 中取两个不同的数分别作为对数的底数与真数，则不同的对数值的个数为．

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3、定理：如果函数 $f (x)$ 及 $g (x)$ 满足：①图象在闭区间 $[a, b]$ 上连续不断；②在开区间 $(a, b)$ 内可导；③对 $\forall x \in (a, b), g^{'} (x) \neq 0$ ，那么在 $(a, b)$ 内至少有一点 $c$ ，满足 $\frac{f (b) - f (a)}{g (b) - g (a)} = \frac{f^{'} (c)}{g^{'} (c)}$ 成立，该定理称为柯西中值定理.请利用该定理解决下面问题：已知 $f (x) = \frac{x^{2}}{e^{x}}$ ，若存在正数 $a, b (a \neq b)$ ，满足 $f (b) = λ \ln \frac{b}{a} +$ $f (a)$ ，则实数 $λ$ 的取值范围为（）

A、 $[- \frac{32}{e^{4}}, \frac{1}{e}]$ B、 $[- \frac{8}{e^{4}}, \frac{2}{e}]$ C、 $[- \frac{4}{e^{4}}, \frac{1}{e}]$ D、 $[- \frac{4}{e^{4}}, \frac{2}{e}]$

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4、已知函数 $f (x) = \cos (ω x + \frac{π}{3}), ω > 0$ ，下列说法正确的是（）

A、若函数周期为4，则 $ω = \frac{1}{2}$ B、当 $ω = 2$ 时，函数的对称轴为 $x = \frac{π}{3} + k π, k \in Z$ C、若函数在 $(0, \frac{π}{3})$ 单调，则 $ω$ 有最大值2 D、若函数 $y = \sin x$ 可以由 $f (x)$ 先向右平移 $\frac{π}{9}$ 个单位长度，再横坐标变为原来的3倍得到，则 $ω = \frac{1}{3}$

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5、“ $a \geq 0$ ”是“函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \ln x, x > 0 \\ 2^{x} + a, x \leq 0 \end{array}$ 有且只有一个零点”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、已知 $l_{1} : x + (1 + a) y + a - 2 = 0, l_{2} : 2 a x + 4 y + 16 = 0$ ，若 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，则a的值为（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- 2$ C、1 D、 $- 2$ 或1

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7、已知复数 $z = \frac{1 + i}{3 - i}$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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8、如图，扇形钢板 $P O Q$ 的半径为 $1 m$ ，圆心角为 $\frac{π}{3}$ ，现要从中截取一块四边形钢板 $A B C O$ ，其中顶点 $B$ 在扇形 $P O Q$ 的弧 $P Q$ 上， $A ， C$ 分别在半径 $O P ， O Q$ 上，且 $A B ⊥ O P ， B C ⊥ O Q$ ．

(1)、设 $∠ A O B = θ$ ，试用 $θ$ 表示截取的四边形钢板的面积 $S (θ)$ ，并指出 $θ$ 的取值范围；

(2)、求当 $θ$ 为何值时，截取的四边形钢板 $A B C O$ 的面积最大，并求出最大值．

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9、已知函数 $f (x) = \sin^{2} x - \cos^{2} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x (x \in R)$ .
（1）求 $f (\frac{π}{3})$ 的值；
（2）求 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间.

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10、已知 $cos (α - \frac{β}{2}) = - \frac{2 \sqrt{7}}{7}$ ， $sin (\frac{α}{2} - β) = \frac{1}{2}$ ， $\frac{π}{2} < α < π$ ， $0 < β < \frac{π}{2}$ .

(1)、求 $cos \frac{α + β}{2}$ 的值；

(2)、求 $tan (α + β)$ 的值.

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11、已知 $\overset{⃑}{a}$ ､ $\overset{⃑}{b}$ 均为单位向量，若 $|\overset{⃑}{a} - 2 \overset{⃑}{b}| = \sqrt{3}$ ，则 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 的夹角为.

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12、为了得到函数 $y = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象，可以将函数 $y = \cos 2 x$ 的图象（）

A、右移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位 B、左移 $\frac{7 π}{12}$ 个单位 C、右移 $\frac{5 π}{6}$ 个单位 D、左移 $\frac{π}{6}$ 个单位

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13、已知 $△ A B C$ 的重心为点P，若 $\sqrt{3} \sin A \cdot \overset{⃑}{P A} + \sqrt{3} \sin B \cdot \overset{⃑}{P B} + \sin C \cdot \overset{⃑}{P C} = \vec{0}$ ，则角B为（）

A、 $\frac{5 π}{12}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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14、在△ABC中，若 $\tan A + \tan B + \sqrt{2} = \sqrt{2} \tan A \tan B$ ，则 $\tan 2 C =$ （）

A、 $- 2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $- 2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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15、已知 $\sin (\frac{π}{6} - x) = \frac{1}{4}$ ，则 $\cos (2 x + \frac{2 π}{3})$ 的值为

A、 $- \frac{7}{8}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、 $\frac{3}{4}$

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16、化简 $\sin 200^{\circ} \sin 230^{\circ} - \cos 160^{\circ} \sin 40^{\circ}$ ，得（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sin 200^{\circ}$ C、 $\cos 200^{\circ}$ D、 $\frac{1}{2}$

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17、 $\cos 105 ° =$ （）

A、 $\sqrt{2} - \sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

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18、已知函数 $f (x) = \frac{a e^{2 x} - 1}{x}$ 的图象在 $(1, f (1))$ 处的切线经过点 $(2, 2 e^{2})$ ．

(1)、求 $a$ 的值及函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $λ (x^{3} - x) - ln x e^{2 λ x} + ln x < 0$ 在区间 $(1, + \infty)$ 上恒成立，求正实数 $λ$ 的取值范围．

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19、抛物线 $C_{1} : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点到准线的距离等于椭圆 $C_{2} : x^{2} + 16 y^{2} = 1$ 的短轴长．

(1)、求抛物线 $C_{1}$ 的方程；

(2)、设 $D (1, t)$ 是抛物线 $C_{1}$ 上位于第一象限的一点，过 $D$ 作 $E : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = r^{2}$ （其中 $0 < r < 1$ ）的两条切线，分别交抛物线 $C_{1}$ 于点 $M, N$ ，过原点作直线 $M N$ 的垂线，垂足为 $Q$ ，证明点 $Q$ 在定圆上，并求定圆方程

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20、某校体育节组织定点投篮比赛，每位参赛选手共有3次投篮机会．统计数据显示，每位选手投篮投进与否满足：若第 $k$ 次投进的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，当第 $k$ 次投进时，第 $k + 1$ 次也投进的概率保持 $p$ 不变，当第 $k$ 次没能投进时，第 $k + 1$ 次能投进的概率为 $\frac{p}{2}$ ．

(1)、若选手甲第1次投进的概率为 $\frac{1}{2}$ ，求选手甲至少投进一次的概率；

(2)、设选手乙第1次投进的概率为 $\frac{2}{3}$ ，每投进1球得1分，投不进得0分，求选手得分 $X$ 的分布列与数学期望．

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