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相关试卷

1、设 $a = {0.7}^{6}, b = 6^{0.7}, c = {log}_{0.7} 6$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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2、已知函数 $f (x) = 3^{x} - x^{2}$ ，则在下列区间中使函数 $f (x)$ 有零点的区间是（）

A、 $(- 2, - 1)$ B、 $(- 1, 0)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(1, 2)$

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3、函数 $f (x) = {log}_{\frac{1}{2}} (x^{2} - 2 x - 3)$ 的单调递增区间是（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(3, + \infty)$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(- \infty, - 1)$

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4、若函数 $f (x) = x + \frac{1}{x - 2} (x > 2)$ 在 $x = a$ 处取得最小值，则 $a$ 等于（）

A、 $1 + \sqrt{2}$ B、 $1 + \sqrt{3}$ C、3 D、4

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5、已知命题 $p : \forall x \in R, x^{2} \geq 2$ ，则命题 $p$ 的否定是（）

A、 $\forall x \in R, x^{2} \leq 2$ B、 $\exists x \in R, x^{2} \leq 2$ C、 $\exists x \in R, x^{2} < 2$ D、 $\forall x \in R, x^{2} < 2$

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6、 $cos \frac{35 π}{6}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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7、某大学有甲､乙两个运动场.假设同学们可以任意选择其中一个运动场锻炼，也可选择不锻炼，一天最多锻炼一次，一次只能选择一个运动场.若同学们每次锻炼选择去甲或乙运动场的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，每次选择相互独立.设王同学在某个假期的三天内去运动场锻炼的次数为 $X$ ，已知 $X$ 的分布列如下：（其中 $a > 0, 0 < p < 1$ ）
$X$
0
1
2
3
$P$
$a {(1 - p)}^{2}$
$\frac{a}{p}$
$a$
$a (1 - p)$

(1)、记事件 $A_{i}$ 表示王同学假期三天内去运动场锻炼 $i$ 次 $(i = 0, 1, 2, 3)$ ，事件 $B$ 表示王同学在这三天内去甲运动场锻炼的次数大于去乙运动场锻炼的次数.当 $p = \frac{1}{2}$ 时，试根据全概率公式求 $P (B)$ 的值；

(2)、是否存在实数 $p$ ，使得 $E (X) = \frac{5}{3}$ ？若存在，求 $p$ 的值：若不存在，请说明理由；

(3)、记 $M$ 表示事件“甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动”， $N$ 表示事件“王同学去甲运动场锻炼”， $0 < P (M) < 1$ .已知王同学在甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率，比不举办抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率大，证明： $P (M ∣ N) > P (M ∣ \bar{N})$ .

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8、已知抛物线 $E : y^{2} = 4 x$ ，点 $A, B, C$ 在抛物线 $E$ 上，且 $A$ 在 $x$ 轴上方， $B$ 和 $C$ 在 $x$ 轴下方（ $B$ 在 $C$ 左侧）， $A, C$ 关于 $x$ 轴对称，直线 $A B$ 交 $x$ 轴于点 $M$ ，延长线段 $C B$ 交 $x$ 轴于点 $Q$ ，连接 $Q A$ .

(1)、证明： $\frac{|O M|}{|O Q|}$ 为定值（ $O$ 为坐标原点）；

(2)、若点 $Q$ 的横坐标为 $- 1$ ，且 $\vec{M B} \cdot \vec{M C} = \frac{8}{9}$ ，求 $△ A Q B$ 的内切圆的方程.

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9、已知函数 $f (x) = {(x - 1)}^{2} e^{x} - a x$ ，且曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (x))$ 处的切线方程为 $y = - 2 x + b$ ．

(1)、求实数 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、证明：函数 $f (x)$ 有两个零点．

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10、在三棱锥 $S - A B C$ 中，平面 $S A C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A C = A S = S C = 2 B C$ ， $D, E$ 分别为 $A B, A C$ 的中点.

(1)、证明： $A B ⊥$ 平面 $S D E$ ；

(2)、求二面角 $A - S B - C$ 的正弦值.

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11、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $4 a cos B - b cos C = c cos B$ .

(1)、求 $cos B$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{15}}{2}, b = 3 \sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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12、已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为矩形， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 4$ ，侧面 $P A B$ 为正三角形且垂直于底面 $A B C D$ ， $M$ 为四棱锥 $P - A B C D$ 内切球表面上一点，则点 $M$ 到直线 $C D$ 距离的最小值为.

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13、现安排甲、乙、丁、丙、戊五位老师从周一到周五的常规值班，每人一天，每天一人，则甲、乙两人相邻，丙不排在周三的概率为.

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14、已知定义在 $[0, 1]$ 上的函数 $f (x)$ 满足： $\forall x \in [0, 1]$ ，都有 $f (1 - x) + f (x) = 1$ ，且 $f (\frac{x}{3}) = \frac{1}{2} f (x)$ ， $f (0) = 0$ ，当 $0 \leq x_{1} < x_{2} \leq 1$ 时，有 $f (x_{1}) \leq f (x_{2})$ ，则（）

A、 $f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$ B、 $f (1) = \frac{1}{2}$ C、 $f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{2}$ D、 $f (\frac{\ln 3}{3}) = \frac{1}{2}$

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15、下列说法中，正确的是（）

A、若随机变量 $X ~ N (2, σ^{2})$ ，且 $P (X > 6) = 0.4$ ，则 $P (- 2 < X < 2) = 0.2$ B、一组数据6，7，7，9，13，14，16，17，21的第70百分位数为16 C、盒子中装有除颜色外完全相同的5个黄球和3个蓝球，从袋中有放回地依次抽取2个球，第一次抽到蓝球的情况下第二次也抽到蓝球的概率为 $\frac{3}{8}$ D、设随机事件 $A$ ， $B$ ，已知 $A$ 事件发生的概率为0.3，在 $A$ 发生的条件下 $B$ 发生的概率为0.4，在 $A$ 不发生的条件下 $B$ 发生的概率为0.2，则 $B$ 发生的概率为0.26

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16、已知双曲线： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 作直线交双曲线右支于 $M, N$ 两点（ $M$ 点在 $x$ 轴上方），使得 $\vec{M F_{2}} = 3 \vec{F_{2} N}$ .若 $(\vec{M F_{1}} + \vec{M N}) \cdot \vec{F_{1} N} = 0$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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17、已知 $(x + 1) {(x - 1)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{1} + a_{3}$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、1 C、4 D、 $- 2$

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18、已知 $S_{n}$ 是等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_{2} = 3$ ， $S_{6} = 5 S_{4} - 12$ ，则 $S_{4} =$ （）

A、11 B、13 C、15 D、17

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19、已知向量 $\vec{a} = (x, 1)$ ， $\vec{b} = (4, x)$ ，则“ $x > 0$ ”是“向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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20、已知各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $4 S_{n} = {(a_{n} + 1)}^{2}$ ，则 $\frac{2 S_{n} + 10}{a_{n} + 3}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{6} - 2$ B、3 C、 $2 \sqrt{6} - 1$ D、4

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$X$	0	1	2	3
$P$	$a {(1 - p)}^{2}$	$\frac{a}{p}$	$a$	$a (1 - p)$