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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a e^{x} - e^{- x}, (a \in R)$ .

(1)、若 $f (x)$ 为奇函数，求此时 $f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) - (a + 1) x$ ，且存在 $x_{1}, x_{2}$ 分别为 $g (x)$ 的极大值点和极小值点.
（i）求函数 $g (x)$ 的极值；
（ii）若 $a \in (1, + \infty)$ ，且 $g (x_{1}) + k g (x_{2}) > 0$ ，求实数 $k$ 的取值范围.

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2、已知集合 $A = \{x |x^{2} + 2 x < 3\}, B = \{x |2^{x} + x < 3\}$ ，则“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，例如， $[- 0.5] = - 1$ ， $[1.1] = 1$ ，已知函数 $f (x) = [x]$ ，下列结论正确的有（）

A、若 $x \in (0, 1)$ ，则 $f (- x) + \frac{1}{4} < - [f (x) + \frac{1}{4}]$ B、 $f (x + y) < f (x) + f (y)$ C、设 $g (x) = f (2 \sqrt{5} x) + f (\frac{x^{2}}{20})$ ，则 $\sum_{k = 1}^{20} g (k) = 401$ D、所有满足 $f (m) = f (n) (m, n \in [0, \frac{14}{3}])$ 的点 $(m, n)$ 组成的区域的面积和为 $\frac{40}{9}$

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4、对于 $z_{0}, z_{1}, z_{2} \in C$ ，记 $k = |\frac{z_{1} - z_{0}}{z_{2} - z_{0}}|$ 为 $z_{1}, z_{2}$ 关于 $z_{0}$ 的“差比模”.若取遍 $|z_{0}| = r (r > 0)$ ，记 $z_{1}, z_{2}$ 关于 $|z_{0}| = r$ 的“差比模”的最大值为 $k_{max}$ ，最小值为 $k_{min}$ ，若 $k_{max} + k_{min} = 2$ ，则称 $z_{1}, z_{2}$ 关于 $r$ 的“差比模”是协调的.

(1)、若 $z_{0} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i, z_{1} = 1, z_{2} = - 1$ ，求 $z_{1}, z_{2}$ 关于 $z_{0}$ 的“差比模”；

(2)、若 $z_{1} = 1 + \sqrt{3} i, z_{2} = 1 - \sqrt{3} i$ ，是否存在 $r < 2$ ，使得 $z_{1}, z_{2}$ 关于 $r$ 的“差比模”是协调的？若存在，求出 $r$ 的值；若不存在，说明理由；

(3)、若 $z_{1} = a, z_{2} = b i, a, b \in R$ 且 $a, b > r$ ，若 $z_{1}, z_{2}$ 关于 $r$ 的“差比模”是协调的，求 $\frac{b^{2} - a^{2}}{r^{2}}$ 的值.

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5、设椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率等于 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点 $F$ 是椭圆 $E$ 的一个顶点， $A, B$ 分别是椭圆的左右顶点.

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、动点 $P$ 、 $Q$ 为椭圆上异于 $A, B$ 的两点，设直线 $A P$ ， $B Q$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{2} = 3 k_{1}$ ，求证：直线 $P Q$ 经过定点.

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6、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B / / C D$ ， $A D = C D = 1$ ， $∠ B A D = 120^{°}$ ， $P A = \sqrt{3}$ ， $∠ A C B = 90^{°}$ ， $M$ 是线段 $P D$ 上的一点（不包括端点）.

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求 $A$ 点到平面 $P C D$ 的距离；

(3)、试确定点 $M$ 的位置，使直线 $M A$ 与平面 $P C D$ 所成角 $θ$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ .

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7、已知偶函数 $f (x)$ 和奇函数 $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $f (x) - g (x) = 2^{1 - x}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的解析式；

(2)、若 $\forall x \in R$ ，不等式 $m f (x) \leq {[g (x)]}^{2} + 2 m + 4$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、若 $h (x) = {[\frac{f (x) + g (x)}{2}]}^{2} + {[\frac{g (x) - f (x)}{2}]}^{2} - 2 m g (x)$ ，且 $h (x)$ 在 $[1, + \infty)$ 上的最小值为 $- 2$ ，求 $m$ 的值．

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8、已知函数 $f (x) = a x^{2} - (a + 1) x + 1 (a \in R)$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在区间 $(- \infty, 1]$ 上单调递减，求 $a$ 的取值范围．

(2)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$ 的解集．

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9、已知幂函数 $f (x) = (m^{2} + m - 5) \cdot x^{m} (m \in R)$ 是定义在R上的偶函数．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \in [\frac{1}{3}, 81]$ 时，求函数 $g (x) = f ({log}_{3} x) - 2 {log}_{3} [f (x)] + 2$ 的最大值，并求对应的自变量 $x$ 的值．

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10、已知角 $α$ 以 $x$ 轴的非负半轴为始边，点 $P (4, - 3 m)$ 在角 $α$ 的终边上，且 $\sin α = \frac{3}{5}$ ，

(1)、求 $m$ 及 $\tan α$ 的值；

(2)、求 $\frac{2 \sin (π - α) + \sin (α + \frac{π}{2}) \tan (π - α)}{\sin (\frac{3 π}{2} - α) + \cos (\frac{π}{2} + α)}$ 的值．

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11、设全集 $U = R$ ，已知集合 $A = \{x | \frac{x + 1}{x - 4} \leq 0\}$ ，集合 $B = \{x | x^{2} + 3 x - 10 < 0\}$ ，

(1)、求 $A \cap B$ 和 $∁_{U} (A \cup B)$ ；

(2)、若 $C = \{x |a \leq x \leq 2 a + 2\}$ 且 $A \cap C = C$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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12、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 3^{x} + 1, x \leq 0 \\ |\log_{4} x|, x > 0 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的函数 $g (x) = {[f (x)]}^{2} - (a + 2) f (x) + a + 1$ 恰好有五个零点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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13、已知 $\sin θ + \cos θ = \frac{4}{3}$ ， $θ \in (0, \frac{π}{4})$ ，则 $sin θ - cos θ$ 的值为.

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14、计算： ${(2 \frac{1}{3})}^{0} + {(3 \frac{3}{8})}^{- \frac{2}{3}} - {(\frac{1}{3})}^{1 - \log_{3} 2} \cdot \log_{4} 9 \cdot \log_{27} 4 =$ ．

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15、中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为 $S_{1}$ ，其圆心角为 $θ$ ，圆面中剩余部分的面积为 $S_{2}$ ，当 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的比值为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（）

A、 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{θ}{2 π - θ}$ B、若 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{1}{2}$ ，扇形的半径 $R = 3$ ，则 $S_{1} = 2 π$ C、若扇面为“美观扇面”，则 $θ = (3 - \sqrt{5}) π$ D、若扇面为“美观扇面”，半径 $R = 20$ ，则扇形面积为 $200 (3 - \sqrt{5}) π$

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16、下列说法正确的是（）

A、命题“ $\exists x_{0} \in R, x_{0}^{2} + 3 x_{0} + 2 \leq 0$ ”的否定是“ $\forall x \in R, x^{2} + 3 x + 2 > 0$ ” B、 $a < 4$ 是 $a < 3$ 的必要不充分条件 C、函数 $f (x) = \log_{3} (x^{2} + 2 x - 3)$ 的单调递减区间为 $(- \infty, - 1)$ D、函数 $f (x) = a^{x - 1} - 2 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象恒过定点 $(1, - 1)$ ．

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17、已知函数 $f (x) = ln (x^{2} - a x - a - 1)$ ，下列说法正确的有（）

A、存在实数 $a$ ，使 $f (x)$ 的定义域为 $R$ B、若函数 $f (x)$ 在区间 $(2, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是 $(- \infty, 1)$ C、对任意正实数 $a, f (x)$ 的值域为 $R$ D、函数 $f (x)$ 一定有最小值

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18、已知正实数a、b满足 $a + b = 2$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b + 1}$ 的最小值为（）

A、2 B、3 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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19、下列结论中错误的是（）

A、终边经过点 $(m, m) (m > 0)$ 的角的集合是 $\{α |α = \frac{π}{4} + 2 k π, k \in Z\}$ ； B、扇形的圆心角为 $0.5$ 弧度，周长为 $15$ ，则它的面积为 $9$ ； C、将表的分针拨慢 $10$ 分钟，则分针转过的角的弧度数是 $\frac{π}{3}$ ； D、若 $α$ 是第三象限角，则 $\frac{α}{2}$ 是第二象限角．

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20、已知 $a = {(\sin 1)}^{- 0.1}, b = 3^{- \sin 1}, c = \log_{2} (\sin 1)$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小关系为（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < b < c$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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