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相关试卷

1、一年一度的“双11”促销活动落下帷幕，各大电商平台发布的数据显示，在消费品以旧换新、家电政府补贴等促消费政策和活动的带动下，消费市场潜能加速释放，带动相关商品销售保持增长. 经过调研，得到2019年到2024年“双11”活动当天某电商平台线上日销售额 $y$ （单位：百亿元）与年份（第 $x$ 年）的6组数据（时间变量 $x$ 的取值依次为 $1, 2, \cdot \cdot \cdot, 6$ ），对数据进行处理，得到如下散点图（图1）及一些统计量的值. 其中 $t_{i} = \ln x_{i}, \bar{t} = \frac{1}{6} \sum_{i = 1}^{6} t_{i}$ .
$\bar{y}$
$\bar{x}$
$\sum_{i = 1}^{6} x_{i}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{6} x_{i} y_{i}$
$\bar{t}$
$\sum_{i = 1}^{6} t_{i}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{n} t_{i} y_{i}$
48.7
3.5
91
1204
1.1
9.4
388.1
分别用两种模型：① $y = b x + a$ ；② $y = b \ln x + a$ 进行拟合，得到相应的回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图（图2）（残差值 $=$ 真实值 $-$ 预测值）.

(1)、根据题中信息，通过残差图比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型进行拟合？请说明理由；

(2)、根据（1）中所选模型，
（i）求出 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程（系数精确到0.1）；
（ⅱ）若该电商平台每年活动当天线上日销售额 $y$ 与当日营销成本 $u$ 及年份 $x$ 存在线性关系： $y = 3 u + 2.6 x$ ，则在第几年活动当日营销成本的预测值最大?
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；参考数据： $\ln 7 \approx 1.95$ .

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2、已知 $cos (x - \frac{π}{10}) = - \frac{4}{5}$ ，则 $sin (2 x + \frac{3 π}{10}) =$ .

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3、微分中值定理是微积分学中的重要定理，它是研究区间上函数值变化规律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的内容如下：
如果函数 $f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 可导，导数为 $f^{'} (x)$ ，那么在开区间 $(a, b)$ 内至少存在一点 $c$ ，使得 $f^{'} (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ ，其中 $c$ 叫做 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上的“拉格朗日中值点”.已知函数 $f (x) = \frac{(a + 1) x^{2}}{4} \ln x + b^{2} (x - 4) e^{a x} - \frac{b^{2}}{6} x^{3} + (\frac{9 b + 15}{8}) x^{2}$ .

(1)、若 $a = - 1, b = 0$ ，求函数 $f (x)$ 在 $[1, 7]$ 上的“拉格朗日中值点” $x_{0}$ ；

(2)、若 $a = - 1, b = 1$ ，求证：函数 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 图象上任意两点 $A$ ， $B$ 连线的斜率不大于 $18 - e^{- 6}$ ；

(3)、若 $a = 1, b = - 1, \forall x_{1}, x_{2}, x_{3} \in (\frac{1}{4}, 1)$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，求证： $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} > \frac{f (x_{3}) - f (x_{2})}{x_{3} - x_{2}}$ .

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4、非零向量 $\overset{⃑}{m}, \overset{⃑}{n}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且满足 $| \vec{n} |= λ| \vec{m} |(λ⟩ 0)$ ，向量组 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 由一个 $\overset{⃑}{m}$ 和两个 $\overset{⃑}{n}$ 排列而成，向量组 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 由两个 $\overset{⃑}{m}$ 和一个 $\overset{⃑}{n}$ 排列而成，若 $x_{1} \cdot y_{1} + x_{2} \cdot y_{2} + x_{3} \cdot y_{3}$ 所有可能值中的最小值为 $4 {\overset{⃑}{m}}^{2}$ ，则 $λ =$ ．

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5、已知幂函数 $f (x) = x^{- k^{2} + k + 2}, (k \in Z)$ 满足 $f (2) < f (3)$ ，若函数 $g (x) = 1 - q f (x) + (2 q - 1) x$ ，在区间 $[- 1, 2]$ 上是减函数，则非负实数 $q$ 的取值范围是．

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6、下列命题错误的是：（）

A、两平行直线 $5 x + 12 y + 3 = 0$ 与 $10 x + 24 y + 5 = 0$ 之间的距离是 $\frac{1}{26}$ B、若点 $A (- 2, - 3)$ ， $B (- 3, - 2)$ ，直线l过点 $P (1, 1)$ 且与线段 $A B$ 相交，则l的斜率k的取值范围是 $k \leq - \frac{4}{3}$ 或 $k \geq - \frac{3}{4}$ C、若点 $M (x_{0}, y_{0})$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = R^{2}$ 外，则直线 $x_{0} x + y_{0} y = R^{2}$ 与圆相离 D、若 $3 a^{2} + 3 b^{2} - 4 c^{2} = 0$ ，则直线 $a x + b y + c = 0$ 被圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 所截得的弦长为1

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7、已知函数 $f (x) = x + e^{x}$ ， $g (x) = x e^{x}$ ，若 $f (m) = a$ ， $g (n) = e^{a}$ ，则 $a n e^{e^{m}}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{e}$ B、e C、 $- e$ D、 $- \frac{1}{e}$

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8、在等比数列 ${a_{n}}$ 中 $a_{1} = 3$ ，其前n项和为 $S_{n} .$ 若数列 ${a_{n} + 3}$ 也是等比数列，则 $S_{n}$ 等于 $($ 　　 $)$

A、 $\frac{3^{n + 1} - 3}{2}$ B、3n C、 $2 n + 1$ D、 $3 \times 2^{n} - 3$

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9、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的边长为2， $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 分别为 $C C_{1} ､ B C ､ C D ､ B B_{1}$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、 $B_{1} G ⊥ E F$ B、 $A_{1} H / /$ 平面 $A E F$ C、二面角 $E - A F - C$ 的大小为 $\frac{π}{4}$ D、点 $B_{1}$ 到平面 $A E F$ 的距离为2

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10、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a = 1$ ， $\frac{a}{cos A} = \frac{2 b - c}{cos C}$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $D$ 是线段 $B C$ 的中点，且 $A D = 1$ ，求 $S_{△ A B C}$ ；

(3)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $△ A B C$ 的周长的取值范围．

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11、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点为A，左、右两焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若 $△ A F_{1} F_{2}$ 为等边三角形，则椭圆C的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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12、已知集合 $A = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}\} (k \geq 2)$ ，其中 $a_{i}$ 为整数 $(i = 1, 2, \dots, k)$ ，由 $A$ 中元素可构成两个点集 $P$ 和 $Q : P = \{(x, y)| x \in A, y \in A, x + y \in A\}, Q = \{(x, y)| x \in A, y \in A, x - y \in A\}$ ，其中 $P$ 中有 $m$ 个元素， $Q$ 中有 $n$ 个元素．新定义1个性质 $G$ ：若对任意的 $x \in A$ ，必有 $- x \notin A$ ，则称集合 $A$ 具有性质 $G$ ．

(1)、已知集合 $S = \{0, 2, 4\}$ 与集合 $T = \{- 1, 2, 3\}$ ，判断它们是否具有性质 $G$ ，若有，则直接写出其对应的集合 $P, Q$ ；若无，请说明理由；

(2)、集合 $A$ 具有性质 $G$ ，若 $k = 100$ ，求：集合 $Q$ 最多有几个元素？

(3)、试判断：集合 $A$ 具有性质 $G$ 是 $m = n$ 的什么条件，并证明．

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13、已知函数 $f (x) = a^{x} + (1 - m) a^{- x} (a > 0$ ，且 $a \neq 1)$ 是奇函数，且过点 $(1, \frac{3}{2})$ ．

(1)、求实数 $m$ 和 $a$ 的值；

(2)、设 $g (x) = {log}_{t} [2^{2 x} + 2^{- 2 x} - t f (x)] (t > 0, t \neq 1)$ ，是否存在正实数 $t$ ，使关于 $x$ 的不等式 $g (x) \leq 0$ 对 $x \in [2, {log}_{2} 5]$ 恒成立，若存在，求出 $t$ 的范围；若不存在，请说明理由．

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14、已知定义在 $(0, + \infty)$ 的函数 $f (x)$ ，对任意的 $x, y \in (0, + \infty)$ ，都有 $f (x y) = f (x) + f (y)$ ，且当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) > 0$ ．

(1)、证明：当 $x > 1$ 时， $f (x) < 0$ ；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性并加以证明；

(3)、如果对任意的 $x, y \in (0, + \infty), f (x^{2} + y^{2}) \leq f (a) + f (x y)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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15、已知函数 $y = \frac{1}{2} {cos}^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2} sin x cos x + 1 (x \in R)$ ．

(1)、求函数 $y$ 的最大值，并求自变量 $x$ 的取值集合；

(2)、求该函数的单调递增区间．

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16、函数 $f (x) = \sqrt{4 - x^{2}} + {log}_{2} (x - 1)$ 的定义域是．

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17、函数 $f (x) = \frac{2^{x} + 2^{- x}}{3}, g (x) = ln (\sqrt{1 + 9 x^{2}} - 3 x)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x) + g (x)$ 是偶函数 B、 $f (x) \cdot g (x)$ 是奇函数 C、 $\frac{g (x)}{f (x)}$ 是奇函数 D、 $g (f (x))$ 是奇函数

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18、若 $0 < b < a < \frac{1}{e}, x = a + b e^{b}, y = b + a e^{a}, z = b + a e^{b}$ 则下列大小关系错误的是（）

A、 $x < z < y$ B、 $z < x < y$ C、 $z < y < x$ D、 $y < z < x$

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19、已知函数 $f (x) = cos (ω x - \frac{π}{4}) (ω > 0)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，所得图象与原图象重合，则 $ω$ 的最小值为4 B、若 $f (\frac{π}{6}) = f (\frac{π}{3})$ ，则 $ω$ 的最小值为1 C、若 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{2}, π)$ 上单调递减，则 $ω$ 的取值范围为 $[\frac{1}{2}, \frac{5}{4}]$ D、若 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{2}, π)$ 上无零点，则 $ω$ 的取值范围为 $[\frac{3}{2}, \frac{7}{4}]$

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20、设函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{4})$ 在区间 $[a, a + \frac{π}{3}]$ 上的最大值为 $M$ ，最小值为 $m$ ，则 $M - m$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$

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$\bar{y}$	$\bar{x}$	$\sum_{i = 1}^{6} x_{i}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{6} x_{i} y_{i}$	$\bar{t}$	$\sum_{i = 1}^{6} t_{i}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{n} t_{i} y_{i}$
48.7	3.5	91	1204	1.1	9.4	388.1